Ebene und Raumkurven. 
so werden ÄA 1 und BB X unendlich klein von der 2. Ordnung und 
damit auch die Winkel der Sekanten ÄA 1 und BB y mit den bezüg 
lichen wirklichen Tangenten. Der Winkel der Sekanten AA X und BB X 
unterscheidet sich also nur um eine unendlich kleine Größe 2. Ord 
nung von dem gesuchten Kontingenzwinkel, und man kann folg 
lich den ersteren an Stelle des letzteren setzen. 
444. Berührt ein Kreis eine Kurve in einem Punkt und stimmt 
daselbst bei beiden die Krümmung der Größe und dem Sinne nach 
überein, so heißt der Kreis der Krümmungskreis und sein Mittel 
punkt der Krümmungsmittelpunkt für den betreffenden Kurven 
punkt. Die gegebene Kurve und der Kreis müssen an der bezüg 
lichen Stelle auf der nämlichen Seite der zugehörigen Tangente 
liegen und dieses soll dadurch ausgedrückt werden, daß wir sagen 
die Krümmung beider Kurven stimmt dem Sinne nach überein. 
In jedem Kurvenpunkte unterscheidet man eine konvexe Seite, 
nämlich diejenige auf der die zugehörige Tangente liegt, und eine 
konkave Seite, Bei einer Kurve wird es im allgemeinen einzelne 
Punkte geben, in denen ein Wechsel der Krümmung eintritt, es 
sind das diejenigen Punkte, die nach 480 als Wendepunkte be 
zeichnet werden. 
445. Wir können zu dem Krümmungskreis durch einen ge 
wissen Grenzproceß gelangen und dieser soll uns jetzt etwas näher 
beschäftigen. Ist der Krümmungskreis im Punkte B der Kurve c zu 
bestimmen, so fassen wir alle die Kreise ins Auge, die die Kurve 
in P berühren, deren Mittelpunkte also auf der zugehörigen Nor 
malen n liegen. Wählen wir nun in der Nähe von B auf der Kurve 
einen Punkt Q x , so giebt es einen Kreis /¿ 1 
der c in P berührt und in Q x schneidet. 
Liegt Q x nahe genug bei P, so wird der 
Kreis den Kurvenbogen BQ X nicht mehr 
schneiden und es liegt dieser Bogen Q X B und 
seine nächste Fortsetzung über P hinaus 
ganz innerhalb des Kreises k v wie die Figur zeigt. Ganz ebenso läßt 
sich ein Kreis k 2 angeben, der c in einem Punkte Q 2 schneidet, wo 
Q 2 in der Nähe von P aber von durch P getrennt liegt. Der 
Bogen Q 2 B, sowie seine nächste Fortsetzung über P hinaus liegt 
hier ganz außerhalb des Kreises k 2 und somit liegt auch k 2 inner 
halb Ä r Läßt man jetzt den Punkt Q x stetig sich nach P hin 
bewegen, bis er zu P unendlich nahe wird, so nähert sich der 
Kreis k x unbegrenzt einer bestimmten Grenzlage k, die 
nichts anderes als der Krümmungskreis der Kurve c in P