Ebene und Baumkurven. 
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vor, daß die Kurve in lauter gleiche Elemente geteilt sei, so ist ja 
der Drehsinn der Tangente heim Übergänge von einer Lage in die 
Nachbarlage (wenn man die Kurve in demselben Sinne durchläuft) 
ein verschiedener je nachdem ihr Berührungspunkt vor oder hinter 
dem Wendepunkte liegt. Der Kontingenzwinkel wird deshalb im 
Wendepunkte selbst gleich Null sein, d. h. es werden zwei benach 
barte Kurvenelemente in dieselbe Gerade fallen, die Tangente im 
Wendepunkte enthält drei konsekutive Kurvenpunkte und 
der zugehörige Krümmungsradius ist unendlich groß. Die Evolute 
hat die bezügliche Normale zur Asymptote, 
Aus analogen Gründen oder aus dem Prinzip der Dualität 
schließen wir, daß bei gleichen Kontingenzwinkeln — wobei dann 
die Kurvenelemente ungleich sind — in einem Rückkehrpunkte 
das Kurven element gleich Null wird. Hieraus ersieht man, daß der 
Rückkehrpunkt ein spezieller Fall des Doppelpunktes ist, in dem 
zwei konsekutive Kurvenpunkte zusammenfallen. Durch den Rück 
kehrpunkt gehen drei konsekutive Tangenten und der zu 
gehörige Krümmungsradius ist Null, die Evolute berührt also die 
Normale in der Spitze. Bei der Schnabelspitze — die eigentlich 
eine Vereinigung von Wendepunkt und Rückkehrpunkt ist — wählt 
man eine Hilfsvariable, die zu den Kurvenpunkten in einer bekannten 
Beziehung steht, und läßt sie sich um gleiche unendlich kleine Größen 
ändern. Unendlich kleinen Änderungen der Hilfsvariahein entsprechen 
im allgemeinen Kurvenelemente und Kontingenzwinkel, die zu jener 
Änderung in einem endlichen Verhältnisse stehen. Für den 
Wendepunkt wird das letztere, für den Rückkehrpunkt das erstere 
Verhältnis gleich Null; für die Schnabelspitze werden beide Ver 
hältnisse unendlich klein, doch wird der Quotient von Kontiugenz- 
winkel und Kurvenelement endlich bleiben, und somit ist auch der 
Krümmungsradius für die Schnabelspitze endlich. Die Evolute hat 
die zugehörige Normale zur Wendetangente, da ja die Tangente der 
Evolute, d. h. die Normale der Kurve c in der Schnabelspitze rück 
läufig wird (Fig. 302). 
451. Die Aufgabe: den Krümmungskreis für einen Punkt m 
einer gegebenen Kurve zu konstruieren, kann nur bei wenigen 
Kurven im Anschlüsse an ihre geometrische Definition genau gelöst 
werden, wie wir das bereits bei den Kegelschnitten gesehen haben 
und noch bei einigen weiteren Kurven später sehen werden. Indessen 
kann man bei einer Kurve, die gezeichnet vorliegt, den Krümmungs 
kreis mit ziemlicher Genauigkeit durch bloßes Probieren finden, 
indem man für den betreffenden Punkt zunächst die Normale zeichnet