312 
Ebene und Raumkurven. 
des /_ tu = 0 und es besitzt k 0 in P 0 einen Wendepunkt; in der 
Tbat giebt auch die Formel: r 0 — r:cosv den Wert r 0 = oo. 
461. Eine Kurve der abwickelbaren Fläche, die bei der 
Abwickelung in eine Gerade übergeht, heißt geodätische 
Linie. Wie die Gerade in der Ebene, so ist die geodätische Linie 
auf der Fläche die kürzeste Verbindungslinie zweier Punkte. Aus 
dem Vorausgehenden ergiebt sich, daß in jedem Punkte einer 
geodätischen Linie die Schmiegungsebene auf der Tan 
gentialebene der Fläche (senkrecht steht. Diese Eigen 
schaft besitzt auch die geodätische Linie auf jeder beliebigen 
krummen Oberfläche. 
463. Zu jeder Raumkurve gehört eine ebene Kurve, die mit ihr 
in allen entsprechenden Punkten gleiche Krümmung hat; letztere ent 
steht aus der ersteren durch Abwickelung ihrer abwickelbaren Fläche, 
wobei ja Bogenelement e und Contingenzwinkel e ungeändert bleiben. 
Zu jeder Raumkurve gehört aber auch ein bestimmter Kegel — 
der Richtungskegel — den man erhält, indem man durch einen 
beliebigen Punkt 0 zu den Erzeugenden der Fläche die Parallel 
strahlen zieht. Hierdurch werden zugleich die Tangentialebenen 
des Kegels zu den entsprechenden Schmiegungsebenen der Raum 
kurve parallel, so daß für den Richtungskegel und die Raumkurve 
Kontingenzwinkel s und Torsionswinkel r\ übereinstimmen, 
468. Wir haben bereits gesehen, daß die Schmiegungsebenen einer 
Raumkurve ihre abwickelbare Fläche umhüllen. Es kann demgemäß 
die abwickelbare Fläche als Hüllfläche aller Lagen einer bewegten 
Ebene erzeugt werden. Je zwei benachbarte Ebenen schneiden sich 
in einer Erzeugenden der Fläche, je drei benachbarte Ebenen in einem 
Punkte ihrer Rückkehrkante. Ebenso bestimmen alle Normalebenen 
einer Raumkurve eine abwickelbare Fläche, die man als Evoluten 
fläche der Raumkurve bezeichnet. Läßt man auf der Evoluten- 
fläche eine Ebene wälzen, ohne daß sie dabei gleitet, so beschreibt 
jeder ihrer Punkte eine Raumkurve — Evolvente —, unter denen 
sich auch die ursprüngliche Raumkurve befindet. Die Evolventen 
durchsetzen die Tangentialebenen der Evolutenfläche rechtwinklig. 
464. Die Parallel- oder Centralprojektion einer Raum 
kurve ist eine ebene Kurve, deren Tangenten Projektionen 
der Tangenten der Raumkurve sind. Es ergiebt sich dieses ein 
fach daraus, daß die Tangenten als spezielle Sekanten aufzufassen 
sind, bei denen durch einen Grenzübergang zwei Schnittpunkte mit 
der Kurve zusammengerückt sind. Liegt das Projektionscentrum