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Ebene und Raumkurven. 
durch einen Grenzübergang definiert, indem man zunächst eine 
Gerade durch zwei getrennte Punkte der Fläche legt und diese 
dann sich gegenseitig nähern und schließlich zusammenfallen läßt. 
Zieht man auf einer Fläche irgend eine Kurve, so ist jede ihrer 
Tangenten auch Tangente der Fläche und enthält zwei unendlich 
nahe Punkte derselben. In j edem Punkte P einer Fläche giebt 
es unendlich viele Tangenten, die im allgemeinen in einer 
Ebene — der Tangentialebene der Fläche in P — liegen. 
Zieht man nämlich irgend zwei Tangenten t x , t 2 im Punkte P der 
Fläche, so schneidet die Ebene t x t 2 die Fläche in einer Kurve, die 
in P einen Doppelpunkt besitzt, da sowohl t x als t 2 mit der 
Schnittkurve im Punkte P zwei unendlich nahe Punkte gemein haben. 
Jede Gerade der Ebene t x t 2 durch den Punkt P hat mit der Kurve 
und sonach mit der Fläche zwei zusammenfallende Punkte gemein, 
d. h. sie ist Tangente der Fläche; hiermit ist aber unsere Be 
hauptung erwiesen. Es kann allerdings in einzelnen Punkten der 
Fläche Vorkommen, daß jede Gerade durch ihn die Fläche in zwei 
zusammenfallenden Punkten schneidet; ein solcher Punkt heißt dann 
Knotenpunkt unserer Fläche, jede Ebene durch ihn schneidet eine 
Kurve aus, die in ihm einen Doppelpunkt besitzt. Denn, giebt es 
eine Gerade t 3 durch P, die dort die Fläche in zwei zusammen 
fallenden Punkten schneidet und nicht in der Ebene t x t 2 liegt, so 
enthält jede Ebene durch t 3 außer t 3 noch eine weitere Tangente 
der Fläche im Punkte P und damit unendlich viele Tangenten. 
469. Daß die Tangenten in einem Punkte P einer Fläche im 
allgemeinen in einer Ebene liegen, kann noch klarer durch folgende 
Überlegung eingesehen werden, die an die obige Definition der Fläche 
anknüpft. Wir gehen zu diesem Zwecke von dem Kurvensysteme 
aus, durch das die Fläche erzeugt worden ist, und betrachten die 
durch P verlaufende Kurve h des Systems und ihre Nachbarkurve Z. 
Wir wählen dann auf l zwei unendlich nahe Punkte A und P, deren 
Entfernung von P ebenfalls unendlich klein ist, so daß das Dreieck 
ARB unendlich klein ist, aber endliche Winkel zeigt. Theilen wir 
jetzt den Kurvenbogen AB durch Punkte C x , C 2 , C 3 , ... C n — wo die 
Zahl n über jede Grenze wachsen mag — so sind die Geraden 
RC X , BC 2 . , . PC n Tangenten unserer Fläche; diese schließen aber 
mit der Ebene ARB unendlich kleine Winkel ein, können also als 
in dieser Ebene liegend angesehen werden. Daß eine Gerade PG 
mit der genannten Ebene einen unendlich kleinen Winkel einschließt, 
folgt daraus, daß die Entfernung des Punktes G von der Sehne AB, 
und damit auch von der Ebene ARB, unendlich klein von der