Ebene und Baumkurven. 
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2. Ordnung ist, wenn AB und damit BÄ, BB und BCi unendlich 
klein von der 1. Ordnung ist. 
470. Die Senkrechte im Berührungspunkte B der Tangentialebene 
heißt die Flächennormale im Punkte P; die Ebenen durch diese 
Normale liefern die Normalschnitte. Die Krümmung kann nun 
für alle Normalschnitte den gleichen Sinn haben, d. h, ihre Krümmungs 
radien, die ja in die Normale fallen, sind alle von P aus gerechnet 
gleich gerichtet; dann liegt die Fläche in der Umgebung von 
P ganz auf der einen Seite der Tangentialebene und heißt 
dort elliptisch gekrümmt. Die Tangentialebene schneidet dem 
nach die Fläche in einer Kurve, die P zum isolierten Doppel 
punkt hat; das einfachste Beispiel bildet die Kugel. 
Die Krümmung kann aber auch für einen Teil der Normal 
schnitte im Punkte P den entgegengesetzten Sinn haben, wie für 
den anderen Teil; die Normalschnitte berühren dann die Tangential 
ebene im Punkte P von verschiedenen Seiten. Die Fläche liegt 
in der Umgebung von P auf beiden Seiten der Tangential 
ebene und heißt dort hyperbolisch gekrümmt. Die Tan 
gentialebene schneidet die Fläche in einer Kurve, die in P einen 
Doppelpunkt mit reellen Asten hat. Den Übergang von 
einem Teil der Normalschnitte zum anderen bilden die beiden 
Normalschnitte mit der Krümmung Null, die also P zum 
Wendepunkt haben. Die beiden eigentlichen Tangenten im Doppel 
punkte P der in der Tangentialebene liegenden Schnittkurve, die 
die beiden reellen Kurvenäste berühren, haben nämlich mit dieser 
— wie der Übergang zeigt — drei zusammenfallende Punkte gemein, 
somit haben sie auch mit der Fläche und mit dem zugehörigen 
Normalschnitt drei zusammenfallende Punkte gemein; diese Tangenten 
sind demnach Wendetangenten der zugehörigen Normalschnitte und 
werden als Haupttangenten im Punkte P bezeichnet. 
471. - Schneidet die Tangentialebene in einem Punkte P die 
Fläche in einer Kurve, die P zur Spitze hat, so heißt die Fläche in 
P parabolisch gekrümmt. Alle Normalschnitte in P berühren die 
Tangentialebene von der nämlichen Seite, nur ein Normalschnitt 
hat den Punkt P zum Wendepunkt, da es nur eine eigentliche 
Tangente in der Spitze giebt. In einem Punkte parabolischer 
Krümmung fallen hiernach die beiden Haupttangenten zusammen. 
Die Fläche liegt in der Umgebung von P auf einer Seite 
der Tangentialebene bis auf eine zugespitzte Partie, die 
von den beiden in der Spitze zusammenlaufenden Kurvenästen be 
grenzt wird.