318 
Ebene und Baumkurven. 
Im allgemeinen bilden auf einer Fläche die Punkte parabo 
lischer Krümmung eine Raumkurve, die allerdings in mehrere 
Teile zerfallen kann. Bei den abwickelbaren Flächen und bei 
den Kegel- und Cylinderflächen ist die Krümmung in jedem 
Punkte parabolisch. Denn jede Tangentialebene berührt längs 
einer Geraden, der Erzeugenden; für jeden Punkt F derselben fallen 
die beiden Haupttangenten zusammen, nämlich gerade in die Er 
zeugende. In der nächsten Umgebung jedes solchen Punktes liegt 
die Fläche ganz auf einer Seite der zugehörigen Tangentialebene 
und reicht nur längs der Erzeugenden an sie heran. 
473. Die Tangenten, die man von einem Räumpunkte Q aus an 
eine Fläche legen kann, bilden eine Kegeliläche (vergl. 482) d. h. ihre 
Berührungspunkte liegen auf einer Kurve der Fläche. Die Tangential 
ebenen in den Punkten dieser Kurve gehen durch Q und umhüllen 
jene Kegelfläche. In der 
That berührt eine Tangen 
tialebene durch Q die Fläche 
in einem Punkte P, so ist 
dieser für ihre Schnittkurve 
ein Doppelpunkt und die 
Verbindungslinie QP vertritt 
zwei zusammenfallende Tan 
genten, wie der Grenzprozeß 
unmittelbar erkennen läßt. 
Denn dreht man die Tan- 
Fig. 812. 
gentialebene um QP um einen unendlich kleinen Winkel, so liefert 
sie in ihrer neuen Lage eine Schnittkurve ohne Doppelpunkt, die 
sich von der Schnittkurve mit Doppelpunkt in der Tangentialebene 
nur unendlich wenig unterscheiden kann, nur hat sich der Doppel 
punkt aufgelöst. Die entstehende neue Kurve muß dann die 
Tangente QF und eine zweite Tangente aus Q aufweisen, die ihr 
unendlich nahe ist. Die Figuren zeigen diese Übergänge beim 
isolierten Doppelpunkt zu einem kleinen Oval, beim Doppelpunkt mit 
sich schneidenden Asten zu zwei getrennten Ästen, bei der Spitze 
zu einem Kurvenast und einem kleinen Oval.