320 Kugel, Cylinder, Kegel. 
gedehnt werden, wobei ihre Randkurven immer von dem nämlichen 
projizierenden Cylinder ausgeschnitten werden mögen. Die beiden 
Bereiche, in denen S x resp. S 2 liegen, werden im allgemeinen, 
wenn so weit wie möglich ausgedehnt, längs einer Kurve aneinander 
grenzen; diese muß man überschreiten, um aus dem sichtbaren 
Bereich in den unsichtbaren zu gelangen und umgekehrt. Der pro 
jizierende Strahl durch jeden Punkt dieser Kurve muß dort die 
Fläche in zwei zusammenfallenden Punkten schneiden oder tangieren. 
Es kann dieses entweder so geschehen, daß der Bereich, in dem S 1 
liegt, den anderen längs einer Kurve durchdringt, dann vertauschen 
sich Sichtbarkeit und Unsichtbarkeit der beiden Bereiche zu beiden 
Seiten der Durchdringungskurve — die man als Doppelkurve 
bezeichnet. Oder die Kurve, die den sichtbaren Teil der Fläche 
von dem unsichtbaren scheidet, hat die Eigenschaft, daß die pro 
jizierenden Strahlen durch ihre Punkte die Fläche berühren; diese 
Strahlen bilden eine Cylinderfläche, welche unsere Oberfläche längs 
jener Kurve berührt, aber außerdem noch durchdringen kann. Glanz 
ähnliche Resultate gewinnt man, wenn man den zweiten und dritten 
Durchstoßpunkt S 2 und S s eines projizierenden Strahles mit der 
Oberfläche und die sie einschließenden Bereiche betrachtet, nur 
kann man diese Bereiche nicht mehr als sichtbare und unsichtbare 
unterscheiden. Man kann demgemäß den Satz aussprechen: Alle 
projizierenden Strahlen, die eine Oberfläche berühren, 
bilden eine Cylinderfläche, welche jene längs einer Kurve 
berührt (die mehrteilig sein kann); diese Kurve auf der Ober 
fläche heißt der wahre Umriß und ihre Projektion der 
scheinbare Umriß. In dem wahren Umriß grenzen zwei 
Fl ächengebiete aneinander, derenProjektionen aufeinander 
fallen; jede Kurve der Oberfläche, die den wahren Umriß 
schneidet projiziert sich als Kurve, die den scheinbaren 
Umriß berührt. Im allgemeinen wird es schwierig sein, auf 
einer Fläche hiernach den wahren Umriß zu bestimmen, d. h. Punkte 
zu finden, in denen eine Tangente parallel zur Projektionsrichtung 
existiert. Nun liegen aber alle Tangenten in einem gewöhnlichen 
Punkte einer Oberfläche nach 469 in einer Ebene — seiner Tan 
gentialebene, es läßt sich also auch die Definition geben: Auf dem 
wahren Umriß liegen alle Punkte, deren Tangentialebenen 
der Projektionsrichtung parallel sind. Hierauf werden wir 
in den meisten Fällen die Konstruktion beliebig vieler Punkte des 
Umrisses basieren können. 
475. Setzen wir in den vorausgehenden Untersuchungen an