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Kugel, Cylinder, Kegel. 
gemein, wie unten noch gezeigt werden soll. Die Kegelschnitte i x 
und j x haben die Punkte X x , Y x , Z x und außerdem den zu i xj ent 
sprechenden Punkt gemein. 
490. Nun betrachten wir die unendlich ferne Gerade l und auf 
ihr die Involution, deren Punktepaare sich aus 0 (und also aus jedem 
endlichen Punkte) durch rechtwinklige Strahlen projizieren; dieser 
Involution auf l entspricht eine Involution auf der Hyperbel^, von der 
G, G 1 und 0, F x zwei Punktepaare sind. Denn G, G x gehören der In 
volution auf / an, also die entsprechenden Punkte G x , G der In 
volution auf l x , ebenso bilden F und der unendlich ferne Punkt O x 
von S'F 1 {S'F’ _L S'O x ) ein Punktepaar jener Involution, also die ent 
sprechenden Punkte jF x und 0 ein Punktepaar der Involution auf l x . 
Das Centrum der Involution auf l x ist der Schnittpunkt GG X X OF x , 
d. h, der unendlich ferne Punkt M auf OF\, ihre Achse ist die 
Polare m von M in Bezug auf l v d, h. der Hyperbeldurchmesser 
UN{NO = NF X ). Dieser Geraden m entspricht ein Kegelschnitt m 1 
durch X x , Jp Z v für den die Punktepaare der Involution auf l kon 
jugierte Punkte sind, für den also je zwei konjugierte Durchmesser 
aufeinander senkrecht stehen; der Kegelschnitt m x ist mithin der 
Kreis durch die Punkte X x , Y x , Z x . 
Die Punkte G, G x , 0, F x bilden aber ein der Hyperbel l x ein 
geschriebenes Viereck, von dem sich ein Paar Gegenseiten, nämlich 
GG X und OF x in M schneiden, die Punkte P — OG x x F X G und 
Q = OG x x F ± G x liegen also auf der Polaren m von M und sind 
konjugiert in Bezug auf l v Nach dem vorausgeschickten Satze ent 
spricht der Involution der hinsichtlich l x konjugierten Punkte von 
m eine Involution auf dem Kreise m 1 , deren Achse die unendlich 
ferne Gerade / ist, deren Punktepaare also auf den Durchmessern 
von m x liegen. Die Punkte P 1 , Q v die jenen Punkten P und Q ent 
sprechen, sind somit die Endpunkte eines Durchmessers des Kreises 
m x . In F x schneiden sich die Polare von P in Bezug auf u und die 
Gerade RP X , wenn RF X S'F, S'T. S'R = S'S 0 2 = JY, T= RS' x F X F, 
RT|| OP; ähnlich findet sich Q v Der Kreis m x und die gleichseitige 
Hyperbel l x liefern die Spurpunkte X x , Y x , Z x der drei Achsen unseres 
Kegels; sie schneiden sich noch in einem Punkte W\, der dem 
Punkte m x l, d. h. dem unendlich fernen Punkte von FQ entspricht 
{W X S' J_ FQ, L. W x OA = L_ S'OA, FL = FQ x W X S'). Eine Kontrolle 
für die Richtigkeit der Zeichnung besteht darin, daß S' der Höhen 
schnittpunkt des Spurendreiecks X x Y x Z x sein muß. 
491. Um den Beweis des oben genannten Satzes in allgemein 
gültiger Form zu erbringen, können wir in folgender Weise verfahren.