Kugel, Cylinder, Kegel. 
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mit u". Die angegebene Konstruktion wird hinfällig für die zu TTj 
senkrechte Ebene TT 3 durch a, die wir deshalb um ihre Spur a 
umlegen. Wir bestimmen zunächst a" durch Umlegen von 0 1 nach 
0”' und GG 1 "' durch Umlegen von G 1 nach G x " {G x — TT 3 X e 4 ), 
dann trifft GG 1 — TT 3 X E denCylinder in den Ellipsenpunkten K 2 , L 2 , 
deren Umlegungen K 2 ", B 2 " sich als Schnittpunkte von GG 1 "' mit 
den zu a" parallelen Mantellinien KK 2 " und IL 2 " ergeben. Hieraus 
findet man dann K 2 und L 2 und den Mittelpunkt 0 2 von u aus 
seiner Umlegung 0”' = a" x GG x ". / 2 '// 2 und K 2 L 2 sind kon 
jugierte Durchmesser der Ellipse u, die sich hiernach konstruieren 
läßt. Sucht man ihre Aufrisse, so erhält man konjugierte Durch 
messer von u', oder man sucht den konjugierten Durchmesser zu 
K 2 "S 2 ", der in a" liegt. 
Die Methode des Umlegens kann man natürlich auch benutzen, 
um den Schnittpunkt P 2 einer beliebigen Mantellinie FF X mit E zu 
konstruieren. Wie die Ebene TT 3 das Dreieck KK 2 G enthält, dessen 
Umlegung KK 2 "G gezeichnet wurde, so enthält die projizierende 
Ebene durch FF X ein zu jenem ähnliches Dreieck, dessen Seiten 
beim Umlegen zu den Seiten des Dreiecks KK 2 "G parallel werden. 
Da eine Ecke unseres Dreiecks in P auf k, eine zweite auf e 1 liegt, 
so ergiebt sich P 2 " als dritte Ecke desselben und daraus dann 
P 2 (in der Figur ist diese Konstruktion nicht durchgeführt). 
Die wahre Gestalt u° der Ellipse u gewinnt man durch Um 
legen der Ebene E um e 1 , dadurch gelangt 0 2 nach 0 2 ° (0 2 "0 2 
= 0 2 0 2 ). Die gesuchte Ellipse u° ist aber — ganz ebenso wie u 
— zu dem Kreise k affin und e 1 ist die Affmitätsachse; da man 
nun ein Paar affiner Punkte 0 und 0 2 ° kennt, kann man hiernach 
?i° zeichnen. Den Achsen von u° entsprechen beim Kreise zwei 
rechtwinklige Durchmesser; schneiden die Achsen e x in den Punkten 
X und Y, so sind XO und YO die entsprechenden Kreisdurchmesser. 
Es werden demnach X und Y aus e x durch einen Kreis ausgeschnitten, 
dessen Mittelpunkt auf e x liegt und der durch 0 und 0 2 ° geht. 
Die Endpunkte der Kreisdurchmesser sind A, B, C, B, die affinen 
Punkte J 2 °, B 2 °, C 2 °, -0 2 ° sind die Endpunkte der Achsen von u°. 
497. Zur Abwickelung der Mantelfläche des Cylinders führen wir 
einen Normalschnitt mit den Spuren n x und n 3 in TTj resp. TT 3 aus; 
seine Schnittellipse v, die k in L berührt, schneidet alle Mantel 
linien rechtwinklig und geht bei der Abwickelung in eine Gerade 
über. Wir theilen nun den Grundkreis von L ausgehend in eine 
Anzahl gleicher Theile, etwa 24, und bezeichnen sie mit: 1 == _Z/, 2,3...., 
7 = J } 8, ..., 13 = K, 14,..., 19 = //, 20, ... 24; die zugehörigen