Kugel, Cylinder, Kegel. 351 
Beim Abwickeln von k gelangen die 24 Teilpunkte auf 13 Kreise 
um den gemeinsamen Mittelpunkt S, deren Radien den bezüglichen 
Mantellinien gleich sind; die Radien für den größten und kleinsten 
sind SF X und SQ X ‘, die Abstände je zweier aufeinanderfolgender 
Teilpunkte in der Abwickelung sind der Seite des k eingeschriebenen 
regulären 24-Ecks gleich. Auf den 24 abgewickelten Mantellinien 
(in der Figur ist nur die Hälfte eingezeichnet) trägt man noch die 
von der Schnittkurve u begrenzten Teilstücke auf (SQ = SQ°, 
SF = SP°, etc.) und gewinnt so Punkte der abgewickelten u. 
Die Tangente im Punkte E von u liegt in E und in der 
Tangentialebene, die den Kegel längs SEE 1 berührt und deren 
Spurlinie E X T den Kreis k in E 1 berührt; deshalb ist T = E X T x e x 
der Spurpunkt der gesuchten Tangente [TE r berührt u in E'). 
Macht man S'F _L E X T und überträgt man das rechtwinklige 
A SE X R sowie EfP in die abgewickelte Figur, so ist E X R die Tan 
gente des abgewickelten Kreises k im Punkte E 1 und es ist ET 
die Tangente der abgewickelten Kurve u, da ihr Neigungswinkel 
gegen SE derselbe ist wie E X ET auf dem Kegelmantel selbst. 
Die Wendepunkte der abgewickelten k sind X x und Y 1 nach 
460, denn die Tangentialebenen längs der Umrißlinien SX x und 
SY 1 sind zu TT^ senkrecht. Die Wendepunkte der abgewickelten 
u sind U und V, wenn die Tangentialebenen längs der Kanten SU 
und SV auf E senkrecht stehen, d. h. wenn sie das von S auf E 
gefällte Lot SL enthalten (SE J_ <? 2 ). L ist der erste Spurpunkt 
dieses Lotes und die Tangenten von Tj an k sind die ersten Spur 
linien der genannten Tangentialebenen; ihre Berührungspunkte U x 
und V x sind die ersten Spurpunkte der beiden Mantellinien, deren 
Abwickelungen die gesuchten Wendepunkte tragen. Die Punkte 
F x und Q x sind für die abgewickelte k Scheitelpunkte, deren 
Krümmungsradien P X P 2 und Q X Q 2 sind, denn A S 2 Q X S' — /_ Q 2 Q X M X 
und L_ S 2 P X S' = P 2 F x M x {S 2 S' |( Q 2 M x P 2 ± S'M V S 2 S' = SS') sind 
die Neigungswinkel von SP X und SQ X gegen TT,, und es ist P X P 2 
= r : cos P 2 P X M X und Q X Q 2 = r : cos Q 2 Q X M X . 
503. Die geodätischen Kurven auf dem geraden Kreis 
kegel (Fig. 329). 
Nach 461 verstehen wir unter einer geodätischen Kurve 
auf einer abwickelbaren Fläche eine solche, die bei der Abwickelung 
in eine Gerade übergeht. Wickeln wir also die Mantelfläche 
des geraden Kreiskegels ab, wobei wir einen Kreisausschnitt er 
halten, so entspricht jede Gerade auf dem abgewickelten Mantel 
einer geodätischen Linie auf dem Kegeh Zu allen Geraden auf