Kugel, Cylinder, Kegel. 
353 
punkt E der geodätischen Linie. In der Figur ist ein Teil des 
Kegelmantels doppelt abgewickelt, weil die geodätische Linie einen 
Teil der Mantellinien zweimal trifft. 
503. In der Abwickelung sind SC X und SB 1 zu u parallel, auf 
dem Kegel tragen deshalb die Mantellinien SC\ und SJD 1 die un 
endlich fernen Punkte der geodätischen Linie. Die Tangente in 
einem Punkte F der geodätischen Linie schließt mit der Erzeugenden 
SFS den gleichen Winkel ein, wie die Gerade u mit der abgewickelten 
SF8; der Spurpunkt Q jener Tangente liegt deshalb auf der 
Kreistangente des Punktes 8 in der Entfernung Q8, die wir 
aus der Abwickelung entnehmen können, ihre Projektionen sind 
QF' und Q"F". Ganz ebenso erhält man als Spurpunkte der 
Asymptoten von u — d. h. der Tangenten in den unendlich fernen 
Punkten — die Punkte R und T\ sie liegen auf den Tangenten der 
Punkte B x und C\ respektive und die Strecken I) X R und C X 'T sind 
den bezüglichen Strecken in der Abwickelung gleich. Die Asymptoten 
i,j selbst sind den Geraden SC\ und SI) X parallel, ihre Projektionen 
also zu S'C\, S'I) V S"C X ', S"I) X . 
u ändert den Sinn ihrer Krümmung nicht, dagegen u'\ als 
Wendepunkte von u" projizieren sich die Punkte von u, deren 
Schmiegungsebenen auf TL senkrecht stehen, die ersten Spurlinien 
dieser Schmiegungsebenen stehen also auf der. .r-Achse senkrecht. 
Bestimmt man demnach die Spurkurve der abwickelbaren Fläche 
unserer geodätischen Linie und legt an sie Tangenten senkrecht 
zur a>Achse, zieht durch ihre Berührungspunkte die bezüglichen 
Tangenten an k und durch deren Berührungspunkte die Mantellinien, 
so schneiden diese aus u die Punkte aus, die sich im Aufriß als 
Wendepunkte projizieren. Läßt man in der Figur einen Punkt auf 
u von E nach F wandern, so beschreibt die zugehörige Tangente 
in Di eine Spurkurve, die E mit Q, verbindet; dieses Kurvenstück 
EQ besitzt eine zur ar-Achse senkrechte Tangente, woraus sich der 
zugehörige Wendepunkt auf P"E" mit seiner Tangente ergiebt (in 
der Figur ist die Konstruktion weggelassen). 
Durchdringung von Kugel-, Cylinder- und Kegelflächen. 
504. Um die Durchdringungslinie oder Schnittkurve zweier be 
liebiger Oberflächen zn zeichnen, muß man eine Reihe einzelner Punkte 
von ihr bestimmen. Dieses geschieht dadurch, daß man auf beiden 
Oberflächen Kurven aufsucht, die sich wirklich schneiden und so 
in den Schnittpunkten Punkte der Durchdriugungslinie liefern. 
Eohn u. Papperitz. I. 23