354 
Kugel, Cylinder, Kegel. 
Schneidet man die gegebenen Oberflächen mit einer dritten, so er 
hält man auf denselben Kurven, deren Schnittpunkte auf der Durch 
dringungslinie liegen. Hiermit wäre eigentlich unsere ursprüngliche 
Aufgabe: die Schnittkurve zweier Oberflächen zu finden auf die 
kompliziertere Aufgabe: die beiden Oberflächen mit einer dritten zu 
schneiden zurückgeführt; da man indessen als dritte oder Hilfs- 
oherfläche jede Fläche nehmen darf, so läßt sich dieselbe meist so 
wählen, daß ihre Schnittkurven mit den gegebenen Oberflächen leicht 
angegeben werden können. Es kommt also bei der Konstruktion 
der Durchdringungslinie zweier Flächen im wesentlichen darauf an 
geeignete Hilfsflächen ausfindig zu machen. In den allermeisten 
Fällen benutzt man Ebenen als Hilfsflächen und es ist in jedem 
einzelnen Falle zu überlegen, welche Hilfsebenen am besten geeignet 
sind, um die Konstruktion so viel wie möglich zu vereinfachen. 
Häufig können Hilfsehenen parallel oder senkrecht zu einer Pro 
jektionsebene Verwendung finden, wobei denn die eine Projektion der 
in den Hilfsebenen liegenden Schnittkurven als gerade Linie erscheint. 
505. Auf den Cylinder- und Kegelflächen liegen gerade Linien, 
die Erzeugenden oder Mantellinien; die Hilfsebenen zur Konstruktion 
der Durchdringungslinie zweier solcher Flächen wählt man deshalb 
so, daß sie die Flächen in Erzeugenden schneiden. Handelt es sich 
dabei um zwei Kegel, so müssen die Hilfsebenen durch die Ver 
bindungslinie ihrer Scheitel gelegt werden; handelt es sich um einen 
Kegel und einen Cylinder, so legt man die Hilfsebene durch die 
Gerade, die durch den Scheitel des Kegels parallel zu den Mantel 
linien des Cylinders verläuft; sollen endlich zwei Cylinderflächen 
zum Durchschnitt gebracht werden, so nimmt man Hilfsehenen, 
die den Erzeugenden beider parallel sind. Um die Mantellinien 
zu bestimmen, die eine Hilfsebene aus einer Cylinder- oder Kegel 
fläche ausschneidet, deren ebene Basiskurve man kennt, hat man 
nur die Spurgerade der Hilfsebene in der Basisebene mit der Basis 
kurve zu schneiden, durch die Schnittpunkte verlaufen die ge 
suchten Mantellinien; welcher Art die Basiskurve ist, ist hierbei 
gleichgültig. 
506. Die Durchdringung zweier Cylinderflächen zu 
finden, deren Grundkurven Kegelschnitte sind. Der eine Cy 
linder möge eine kreisförmige Basis k in TT 1 , der andere eine elliptische 
c in einer Ebene E mit den Spuren e x , e 2 besitzen, die Aufrißebene 
H 2 möge auf E senkrecht stehen (e x J_ x). Wir ziehen zunächst durch 
einen beliebigen Punkt Q (in TT 2 ) Parallelen zu den Mantellinien des 
einen und des anderen Cylinders, deren erste Spurpunkte i\ und S 1 wir