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Kugel, Cylinder, Kegel. 
linie, die c in Ä berührt, erhält man, wenn man durch Ä eine 
Parallele zu U'T und durch ihren Schnittpunkt V mit e 1 eine Par 
allele zu 77^ zieht, letztere schneidet k in 0 und F, die zugehörigen 
Mantellinien enthalten dann die Berührungspunkte J' resp. K r . Ganz 
analog erhält man die Berührungspunkte von u" mit den Umrißlinien 
des Aufrisses, indem man die Hilfsebenen durch die bezüglichen Mantel 
linien legt. Die Hilfsebenen, welche den ersten Cylinder berühren, 
deren erste Spuren also k tangieren, schneiden den zweiten Cylinder 
in zwei Mantellinien, die von u und deren Projektionen von u resp. u" 
berührt werden. Ebenso schneiden die Hilfsebenen, die den zweiten 
Cylinder berühren, deren Spuren in E also c tangieren, den ersten 
Cylinder in je Mantellinien, deren Projektionen u resp. u" berühren. 
Die Tangente t von u in einem Punkte N erscheint als Schnitt 
der beiden Ebenen, die die Cylinder längs der bez. Erzeugenden 
NF resp. NL tangieren. Die Spur der einen in H x berührt h in F, 
die Spur der anderen in E berührt c in A und ihre Projektion be 
rührt c in 7/. Die Hilfsebenen schneiden diese beiden Tangential 
ebenen in Geraden, die zu den bez. Mantellinien parallel laufen, 
daraus ergiebt sich die Konstruktion eines Punktes von t. Die 
Spur einer Hilfsebene ist WX|| B X T, wo W auf e 1 und der Tan 
gente an c, X aber auf der Tangente an k liegt; sind dann 
XY' und HY' respektive parallel zu den Umrißlinien des ersten 
und zweiten Cylinders, so ist Y' ein Punkt von t'\ mit Hilfe des 
ersten Spurpunktes t' x FX läßt sich unmittelbar t" zeichnen. Was 
die Sichtbarkeit von u und u” anlangt, so ist zu bemerken, daß 
nur solche Teile dieser Kurven sichtbar sein können, die sich auf 
den sichtbaren Teilen beider Cylinder befinden. Man sucht also bei 
beiden Cylindern die sichtbaren Teile ganz so auf, als ob jeder nur 
allein vorhanden wäre; diese werden von den Umrißlinien begrenzt. 
Ein Punkt von u (oder u") ist dann sichtbar, wenn die Erzeugenden 
durch ihn bei beiden Cylindern auf den sichtbaren Teilen ihrer 
ersten (oder zweiten) Projektion liegen. Die sichtbaren Teile von 
u' resp. v" endigen auf den Umrißlinien. 
507. Jede beliebige Projektion von u zeigt zwei Doppelpunkte — 
gewöhnliche oder isolierte oder imaginäre — wie wir jetzt nach- 
weisen wollen. Wir werden im Folgenden speziell die Doppelpunkte 
von u' bestimmen, die Betrachtungen bleiben indessen mit geringen 
Modifikationen für jede beliebige Projektionsrichtung gültig. Alle 
zu n i normalen Sehnen des ersten Cylinders werden durch eine 
Ebene halbiert, die auch die Berührungspunkte der zu Hj normalen 
Cylindertangenten und somit die Umrißlinien des Cylinders enthält