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Kugel, Cylinder, Kegel. 
Figur ist 1 ein gewöhnlicher, 2 ein isolierter Doppelpunkt). Die 
vier Schnittpunkte von k und j % liegen paarweise auf zwei zu s 2 
normalen Geraden g x und g 2 \ k, j 2 und das Geradenpaar g x g 2 bilden 
demgemäß drei Kegelschnitte eines Büschels mit den nämlichen vier 
Grundpunkten und werden deshalb von jeder Geraden in drei Punkte 
paaren einer Involution geschnitten. Loten wir alle diese Involu 
tionen auf s 2 , so haben dieselben alle ein Punktepaar gemein, näm 
lich das Punktepaar G x = g x X s 2 , ff 2 =^ 2 Xi 2 ; wir können dieses 
also als gemeinsames Punktepaar zweier Involutionen finden. Die 
eine Involution ist bestimmt durch die beiden Punktepaare E, P 
und Ä 2 , B 2 \ zwei Punktepaare einer anderen Involution erhalten 
wir, indem wir k und j 2 mit einer Geraden schneiden und die 
Schnittpunkte auf s 2 loten; am besten wählt man dazu die Gerade 
durch C 2 parallel zu s 2 , die also j 2 berührt. Das Aufsuchen des 
gemeinsamen Punktepaares G x , G 2 beider Involutionen geschieht 
dann nach 354. Die Bestimmung der Doppelpunkte von u" kann 
ganz ähnlich vorgenommen werden. Die Doppelpunkte von u können 
entweder reell oder konjugiert imaginär sein, je nachdem das ge 
meinsame Punktepaar der beiden Involutionen reell oder imaginär 
ist. Die reellen Doppelpunkte sind entweder beide gewöhnliche oder 
beide isolierte, oder es giebt unter ihnen einen gewöhnlichen und 
einen isolierten, je nachdem k und j 2 vier, oder keinen, oder zwei 
reelle Punkte gemeinsam haben. 
508. Durchdringung eines geraden Kreiskegels mit 
einem geraden Kreiscylinder. Der Basiskreis k des Kegels 
liege in H x , der Basiskreis c des Cylinders in einer beliebigen Ebene 
E mit den Spuren e x und e 2 , und es sei c° der um e x in TTj umgelegte 
Kreis c. Zur Konstruktion benutzen wir eine Seitenrißebene n 3 , 
die zu senkrecht und zu den Mantellinien des Cylinders parallel 
ist, also auf e x senkrecht steht, gleichzeitig soll TT 3 durch den 
Scheitel S des Kegels gehen [y = 1T 3 X H 15 y _j_ e x ). Wir suchen 
dann die dritte Spur e 3 von E und mit ihrer Hilfe die kleine Achse 
B'C von c [Y = y x e x , YB"' = CB°), wonach sich dann der Grund 
riß des Cylinders ergiebt. Nun ziehen wir durch S eine Parallele 
a zu den Erzeugenden des Cylinders, sie liegt in TT 3 und schneidet 
Ti! in Ä x und E in Ä 2 {a” J_ e 3 , a" X y = A x , a" x e 3 = A 2 ", 
A 2 A 2 " j_ y). Alle Hilfsebenen durch die Achse a schneiden sowohl 
aus dem Cylinder wie aus dem Kegel Mantellinien, ihre Schnitt 
punkte gehören der Durchdringungskurve u an. Jede Hilfsebene 
besitzt in n, eine durch A x verlaufende Spur und in E eine durch 
A 2 verlaufende Spur, beide Spuren schneiden sich auf e v Verbindet