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Kugel, Cylinder, Kegel. 
Kugel, dessen Ebene zu TT 1 normal steht. Schneidet man nun den 
Kegel mit dem Scheitel 0 und der Basiskurve u mit der Kugel, so 
erhält man einen sphärischen Kegelschnitt, dessen Eigen 
schaften sich in einfachster Weise ergehen. 
Die Tangenten von einem Punkte P an eine Kugel sind gleich 
lang; durch Projektion dieser Tangenten vom Mittelpunkte 0 aus 
auf die Kugel erhält man gleich lange Stücke größter Kreise. Ist 
P ein Punkt von u, so berührt FS die Kugel, ihr Berührungspunkt 
L liegt auf dem Kreise mit dem Durchmesser JK und L' fällt auf 
JK. Die Tangenten PP\ und PL sind gleich, und Bog QL\ — Bog QL, 
wenn OP die Kugel in Q trifft. Der Bogen QF X gehört einem 
größten Kreise mit dem Durchmesser L\L\ an und der Bogen QL einem 
größten Kreise mit dem Durchmesser P 2 P 3 , der in OS liegt. Da 
der Bogen QL auf dem Kreise JLK senkrecht steht, so erscheint 
der sphärische Kegelschnitt als Ort der Punkte, die von 
einem festen Punkte P\ und einem festen Kreise KP/gleich 
weit abstehen, wobei diese Abstände durch Bogenstücke größter 
Kreise auf der Kugel zu messen sind. Dreht man den Bogen QP X 
um die Achse F x O in TT^ so geht er in I\Q° über {Q'Q° ± OF x ), 
ebenso läßt sich der Bogen QL durch Drehung um die Achse SO in 
die Lage KQ 0 bringen (Q'Q 0 j_ OS). Demnach ist Bog KQ 0 = Bog F X Q°, 
und da PA = BL\ ist auch Bog I)K = Bog UL\, wenn OB die Kugel in 
JO schneidet; hieraus folgt aber durch Subtraktion BogP$ 0 = BogPQ 0 * 
Dies ergiebt eine einfache Konstruktion der Punkte des sphärischen 
Kegelschnittes. Schneidet man von 1) aus auf dem Kugelkreise in 
gleiche Bogen ab, z. B. BQ 0 = PQ°, und zieht durch die End 
punkte Senkrechten zu OF 2 und OF x respektive, so ist ihr Schnitt 
punkt die Projektion eines Punktes des sphärischen Kegelschnittes, 
z. B. Q'. 
Da Bog F 2 Q = Bog F 2 Q 0 und Bog QL = Bog Q 0 K ist, so folgt: 
BogP 2 § + Bog QF X = BogP 2 K; der letztgenannte Bogen ist aber 
von der Lage des Punktes P unabhängig. Der sphärische Kegel 
schnitt erscheint also als Ort der Punkte, für die die 
Summe der sphärischen Abstände von zwei festen Punkten 
konstant ist. Unter dem sphärischen Abstand zweier Kugelpunkte 
ist hierbei das von ihnen begrenzte Stück eines größten Kreises zu 
verstehen. Die Punkte F x und F 2 spielen für den sphärischen Kegel 
schnitt ganz die gleiche Rolle und werden als Brennpunkte 
desselben bezeichnet, analog der Definition der Brennpunkte einer 
Ellipse. Aus unserem Satze folgt, daß BogP 1 2 C'= BogY^P sein muß, 
es ergiebt sich dies auch aus Bog P 2 -/ — Bog F 2 K, Bog CJ = Bog CF X