Kugel, Cylinder, Kegel. 
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und BogiZ/'j = BogiZST; die Summe der sphärischen Abstände eines 
Kurvenpunktes von den beiden Brennpunkten F l und F 2 ist dem 
nach = Bog CD. 
Bog QF 2 = ti — Bog QF 3 , durch Einsetzen dieses Wertes in die 
Relation: Bog QF 1 + Bog QF 2 = Bog CD kommt: Bog QF 3 — Bog QF 1 
= Bog DG. Wir sehen hieraus, daß auch F 1 und F 3 die gleiche 
Rolle spielen, deshalb nennt man F x , F 2 , F 3 , F^ die vier Brenn 
punkte unserer Kurve. Je nach der Auswahl zweier Brennpunkte 
ist die Summe oder die Differenz ihrer sphärischen Abstände 
von den Kurvenpunkten konstant; die bezüglichen Relationen sind: 
Bog QF X + Bog QF 2 = Bog CD, Bog QF 3 — Bog QF X = %— Bog CD, 
Bog QF 3 + Bog QF^ =2 7t — Bog CD, Bog QF^ — Bog QF 2 =71— Bog CD. 
Legt man durch zwei benachbarte Punkte unserer Kurve zwei 
Ebenen senkrecht zu OF x und ebenso zwei Ebenen senkrecht zu 
OF 2 , so ist nach dem vorausgehenden Satze der sphärische Abstand 
der beiden benachbarten zu OF x senkrechten Kreise gleich dem 
sphärischen Abstand der beiden zu OF 2 senkrechten Kreise. Die 
zwei Paar Kugelkreise durch die benachbarten Kurvenpunkte bilden 
demnach einen unendlich kleinen Rhombus, dessen Diagonale die 
Kurventangente in dem betreffenden Punkte ist und den Winkel 
der genannten Kugelkreise halbiert. Die Kugelkreise, die den 
Kurvenpunkt mit den Brennpunkten verbinden, stehen aber auf 
jenen Kreisen senkrecht und wir erhalten den Satz: Die Tangente 
in einem Punkte eines sphärischen Kegelschnittes halbiert 
den Winkel (oder Nebenwinkel) der beiden Kreisbogen, die 
den Punkt mit zwei Brennpunkten verbinden. 
519. Die erzielten Resultate lassen sich unmittelbar auf den Kegel 
mit dem Scheitel 0 und der Leitkurve u übertragen. Die Strahlen 
OF x und OF 2 heißen die Brennstrahlen des Kegels. Die Ebene 
OAB oder TT, ist eine Hauptebene des Kegels; die beiden Geraden, 
die den L ÄOB und seinen Nebenwinkel halbieren, bilden zwei 
Achsen des Kegels, dessen dritte Achse auf TT 1 senkrecht steht 
(vergl. 486). Die beiden Brennstrahlen liegen zu den Achsen 
symmetrisch und es gilt für sie der Satz: Die Summe der Winkel, 
die jede Mantellinie des Kegels mit den beiden Brenn 
strahlen einschließt, ist konstant, nämlich = z_ ÄOB. Dabei 
ist natürlich aut die richtige Bildung dieser Winkel Rücksicht zu 
nehmen; läßt man an Stelle eines dieser Winkel den Nebenwinkel 
treten, so ist die Differenz der beiden Winkel konstant. Ferner 
ergiebt sich: die Tangentialebene längs einer Mantellinie