Kugel, Cylinder, Kegel. 
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C, D, JE des sphärischen Kegelschnittes; dabei ist OME 1 ° das um 
OM in TT 1 umgelegte Dreieck OMEj und E° der umgelegte Punkt E 
und E' seine Projektion [EP = 0E X ° x h, E 0 E' J_ OM). Schneidet 
der Kreis um 0 mit dem Radius OE' die Gerade CE in den Punkten 
G 1 und G 2 , so sind 0G X = f x und 0G 2 — f 2 die Brennstrahlen des 
Kegels und ihre Schnittpunkte F x und F 2 mit der Kugel die Brenn 
punkte des sphärischen Kegelschnittes. 
Um unsere Behauptung zu erhärten, zeigen wir zunächst, daß 
/_ E\OE = i_ F 2 OE = z_ DOM ist. Die Sehne CE ist aber gleich 
der Sehne, die man durch E' senkrecht zu f\ ziehen kann, da 
0G X = OE' ist; es sind also auch die zu den Sehnen gehörigen 
Bogen gleich, die halben Bogen stimmen aber mit Bog ME resp. 
Bog EF X überein. Nun schneiden wir den Kegel mit einer Ebene 
E, die in F x auf f x senkrecht steht, in einem Kegelschnitt u (in der 
Figur ist es eine Hyperbel); die Endpunkte A, B einer seiner Achse 
liegen auf den Mantellinien OC und OE. Zeigt man jetzt noch, 
daß man durch die Kurve u einen Rotationskegel legen kann, der 
der Kugel umgeschrieben ist, so folgt daraus, daß E\ ein Brenn 
punkt von u ist, und man erhält so wieder die Beziehungen, wie 
sie sich in Fig. 334 darbieten. Zu diesem Zwecke ziehe man von 
Ä und B die Tangenten an k, deren Berührungspunkte respektive 
J und K seien; ihr Schnittpunkt S ist der Scheitel eines Kegels, 
der die Kugel längs eines Kreises l mit dem Durchmesser JK be 
rührt. Dieser Rotationskegel enthält aber die Kurve u, denn die 
Schnittkurve von E mit dem Rotationskegel hat mit u nach der 
Konstruktion die Achse AB und außerdem einen Punkt gemein, 
wie sogleich dargethan werden soll. Ist B' = AB x OM, so ist SF 
die Projektion einer Mantellinie SB des Rotationskegels, die die 
Kugel in Q berührt [Q' — SB' x AK) und es ist BF X — BQ (als Kugel 
tangenten). OB schneidet also die Kugel in einem Punkte, dessen 
sphärische Abstände von F x einerseits und dem Kugelkreise l über 
JK andererseits einander gleich sind und dessen Projektion in OM 
liegt. Diese Eigenschaften besitzt aber der Kugelpunkt E, der 
Strahl OEE x geht demnach durch B hindurch, was zu beweisen war. 
Nach 518 muß OS mit dem Brennstrahl f 2 zusammenfallen; 
es ergiebt sich dieses auch direkt, denn es ist Bog CJ = Bog CF X 
[L. CAJ = /_ CAE\) und Bog CF 2 = BogE\E = Bog EK, also auch 
Bog JE\ = Bog F 2 K, d. h. E\ liegt auf der Halbierungslinie des 
Z. JSK. 
531. Die Projektionen des sphärischen Kegelschnittes auf seine 
drei Symmetrieebenen sind wieder Kegelschnitte, wie im Folgenden