Kugel, Cylinder, Kegel. 
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Seien x, y, z die Achsen des Kegels durch c, und zwar mag x 
den z_ F x 0P 2 und y seinen Nebenwinkel halbieren, wo 0F 1 und 
OE 2 nicht durch die Kegeltiächen getrennt sind, während z auf der 
Ebene der Brennpunkte senkrecht steht. Dann ist die Projektion 
c" von c auf eine zur Ebene yz parallele Ebene eine vollständige 
Ellipse, deren Halbachsen gleich \AB resp. EE' sind; die Projek 
tion c" von c auf eine zu xz parallele Ebene dagegen liefert eine 
Hyperbel, deren Hauptachse gleich ÄC ist, der reelle Teil von c 
ergiebt nur zwei Stücke derselben. Daß c" und c" wirklich Kegel 
schnitte sind, erkennt man folgendermaßen. Ist P ein Punkt von c 
und sind p v p 2 , p 3 seine Entfernungen von den Ebenen xy, yz, xz, 
so ist p x 2 + p 2 + p 3 = r 2 (?• = Kugelradius), da P auf der Kugel 
liegt. Für die Projektion P' auf xy, wobei p 2 und p 3 sich in wahrer 
••• _ ^ 2 m 2 # 
Länge projizieren, haben wir: ^ = 1, wenn a x < b 1 die Halb- 
a i “i 
achsen der Ellipse c sind (vergl. 414), Aus beiden Gleichungen 
können wir eine Relation zwischen p x , p 3 nämlich p x 2 + p 2 — ■ 
v) 2 nj 2 ^ ^ 
= r 2 — a x 2 oder: ~ — 1 ableiten, wo: o 2 = r 2 — a 2 und 
U’2 O 2 
b 2 —b 2 (r 2 — a x 2 ): [b- 2 — a x 2 ) ist, und ebenso eine Relation zwischen 
Pi nämlich: p 2 +p 2 -p 2 2 ^ = r 2 - b 2 , oder: -K + = 1, 
a l a 3 U 3 
wo: a 3 2 = ¿ x 2 — r 2 , und b 2 = a x 2 {b x 2 — r 2 ): {b- 2 — a x 2 ) ist. Diese 
Relationen sind aber nichts anderes als die Gleichungen der Pro 
jektionen c" und c", da ja p x , p 3 bei der Projektion von c auf die 
Ebene yz und p x , p 2 hei der Projektion von c auf die Ebene xz 
ungeändert bleiben. Die gefundenen Gleichungen beweisen aber 
nach 414 die Behauptung. 
Die stereographische Projektion. 
533. Projiziert man die Punkte und Linien einer Kugelfläche 
aus einem Punkte 0 auf ihr auf eine Ebene Tlj, die die Kugel 
in dem zu 0 diametral entgegenstehenden Punkte O x berührt, so 
bezeichnet man dieses als stereographische Projektion; von 
ihr sollen die wichtigsten Eigenschaften abgeleitet werden. Jeder 
Kegel, dessen Spitze in 0 liegt und der TT 1 in einem Kreise 
schneidet, schneidet auch die Kugel in einem Kreise (beide Kreise 
sind nach 263 Wechselschnitte); die stereographischen Bilder 
der Kugelkreise sind also wieder Kreise, Wir legen die 
Zeichenebene H 2 durch den Kugeldurchmesser 0M0 1 und die