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Ähnlichkeit und Affinität ebener Figuren. 
sind den Verhältnissen der senkrechten Parallelenabstände gleich, 
also von der Lage der Geraden u unabhängig. Ist das Parallelen- 
system g v h v i v ... zum vorigen und u x zu u affin, so sind auch 
die beiderlei Abschnitte auf u und u x affin und haben (nach 17) 
gleiche Verhältnisse. Daher folgt, daß in zwei affinen Parallelen 
systemen die Verhältnisse der Parallelenahstände 
übereinstimmen, gleichviel in welcher Richtung 
sie gemessen werden. Setzt man jetzt (Fig. 14): 
G — g X g v H — h X A 1? 1= i X i v ..., 
P — h X g v Q = i X g v .. 
so sind A GHP, A GIQ, ... ähnlich und ähnlich- 
gelegen und G ihr Ahnlichkeitscentrum. Mithin 
ergiebt sich der Satz; 
Die Schnittpunkte entsprechender 
Strahlen in zwei affinen Parallelen 
systemen liegen auf einer Geraden l. 
31. Hieraus schliesst man weiter: Sind iß 
und Sßj, iß' und iß/, ... Paare affiner Pa 
rallelensysteme und l, /', ... die zu ihnen (im Sinne des vor 
hergehenden Satzes) gehörigen Geraden, so schneiden sich 
/, f, ... in einem Punkte 
0, der sich selbst ent 
spricht. 
In 0 = 7 x f (Fig. 15) 
schneiden sich nämlich zwei 
entsprechende Gerade g 
und g 1 von iß und iß p ebenso 
zwei Gerade g und von 
iß' und iß/, u. s. f. Es ist 
aber g x g zu g 1 X gf, d. h. 
0 zu sich selbst affin. Ferner 
müssen sich /' und u. s. w. 
in demselben Punkte 0 
schneiden, weil die An 
nahme zweier sich selbst 
entsprechender Punkte 0 
und O'v (wie sogleich noch 
näher zu erörtern sein wird) 
bedingt, daß 00' zur Affinitätsachse wird und folglich alle die 
Geraden l, Z", ... in diese eine zusammenfallen. Damit ist der 
erste Teil des Satzes 19 bewiesen.