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das Produkt aus zwei Faktoren, von denen keiner eine Einheit, und 
folglich auch keiner mit fi assoziiert ist, so soll fi eine zerlegbare 
Zahl heißen; im entgegengesetzten Falle, d. h. wenn jeder Divisor 
von ft entweder ein Gefährte von ft oder eine Einheit ist, heißt ft 
unzerlegbar. Aus dem Satze über die Norm eines Produktes folgt 
nun offenbar, daß jede zerlegbare Zahl stets als Produkt aus einer 
endlichen Anzahl von unzerlegbaren Faktoren darstellbar ist; während 
aber in der Theorie der rationalen Zahlen (d, h. im Falle n — 1) 
diese Zerlegung, abgesehen von den Einheitsfaktoren + 1, eine völlig 
bestimmte, einzige ist, so tritt bei Körpern höheren Grades sehr 
häufig die merkwürdige Erscheinung auf, daß eine Zahl ft als Produkt 
von unzerlegbaren Faktoren auf mehrere Arten darstellbar ist, welche 
in dem Sinne wesentlich verschieden sind, daß z. B. ein unzerlegbarer 
Faktor ol der einen Darstellung ft = o,ßy • •• mit keinem der un 
zerlegbaren Faktoren a 15 ß 1 ■ • • der anderen Darstellung ft = « 1 • • • 
assoziiert ist. Es folgt hieraus, daß eine unzerlegbare Zahl durch 
aus nicht immer den Charakter einer eigentlichen Primzahl besitzt, 
welcher darin besteht, daß ein Produkt nur dann durch eine Prim 
zahl teilbar ist, wenn diese wenigstens in einem der Faktoren auf 
geht. Diese unwillkommene Erscheinung, welche auf den ersten Blick 
jeden weiteren Fortschritt auf diesem Felde zu verbieten schien, ist 
aber die Quelle von einer der schönsten und fruchtbarsten Ent 
deckungen in der höheren Arithmetik geworden: in der Tat ist 
Kummer bei der Untersuchung solcher Gebiete o, welche aus der 
Kreisteilung entspringen, dahin gelangt, die Gesetze der Teilbar 
keit durch Einführung idealer Zahlen in völligen Einklang mit 
denjenigen zu bringen, welche in der alten Theorie der rationalen 
Zahlen herrschen. 
Es ist das Ziel meiner langjährigen Bemühungen gewesen, das 
selbe Resultat für jeden endlichen Körper £1 zu erreichen, also 
diejenigen allgemeinen Gesetze der Teilbarkeit festzustellen, welche 
ohne Ausnahme jedem Gebiete o von der oben beschriebenen Art 
zukommen. Bei der Begründung dieser Theorie (D. § 168) habe ich 
den von Kummer eingeschlagenen Weg verlassen und statt der 
idealen Zahlen einen anderen Begriff, den des Ideals, einführen 
müssen, welcher von jeder, einem speziellen Körper eigentümlichen 
Färbung frei ist und gerade deshalb die erforderliche Allgemeinheit 
besitzt, um als Grundlage der Theorie dienen zu können. Zum Ver-