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Da hiernach die Teilbarkeit der Zahlen nnr einen speziellen 
Fall von der Teilbarkeit der Ideale bildet, so kommt es lediglich 
darauf an, die tatsächlich einfacheren Gesetze der letzteren fest- 
zustellen. Dies geschieht durch die folgenden Begriffe und Sätze: 
4°. Ist das Ideal nt teilbar durch das Ideal a, und letzteres 
teilbar durch das Ideal b, so ist auch tu teilbar durch b. 
5°. Sind et, b zwei beliebige Ideale, so bildet das System m 
aller den Idealen a, b gemeinschaftlich angehörenden Zahlen ein 
Ideal, weiches das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von 
a, b heißt, weil es in jedem gemeinschaftlichen Vielfachen von a, b 
aufgeht. 
6°, Durchläuft a alle Zahlen eines Ideals a, ebenso ß alle 
Zahlen eines Ideals b, so bildet das System b aller in der Form 
a -f- ß darstellbaren Zahlen ein Ideal, welches der größte gemein 
schaftliche Teiler von a, b heißt, weil jeder gemeinschaftliche 
Teiler von a, b in dem Ideal b aufgeht. 
7°, Zwei Ideale, deren größter gemeinschaftlicher Teiler das 
Ideal o ist, heißen relative Primideale. 
8°. Ein von o verschiedenes Ideal p heißt ein Primideal, 
wenn es kein von o und p verschiedenes Ideal zum Teiler hat; im 
entgegengesetzten Falle heißt p ein zusammengesetztes Ideal. 
9°. Durchläuft a alle Zahlen eines Ideals n, ebenso ß alle 
Zahlen eines Ideals b, so bilden die sämtlichen Produkte aß und 
alle Summen von solchen Produkten ein durch a und durch b teil 
bares Ideal, welches das Produkt aus den Faktoren a und b heißt 
und mit ab = ba bezeichnet wird; zugleich ist N(ab) = N(a)N(b). 
Die Ausdehnung dieses Begriffes auf beliebig viele Faktoren und die 
Bedeutung einer Potenz ist selbstverständlich. 
10°. Umgekehrt: ist das Ideal ut teilbar durch das Ideal a, so 
gibt es ein und nur ein Ideal b von der Art, daß ab — ut wird. 
11°. Ein Produkt von Idealen ist nur dann durch ein Prim 
ideal teilbar, wenn dieses wenigstens in einem der Faktoren auf geht. 
12°. Jedes zusammengesetzte Ideal ist als Produkt von lauter 
Primidealen darstellbar, und zwar nur auf eine einzige Weise. 
13°. Damit ein Ideal m durch ein Ideal a teilbar sei, ist er 
forderlich und hinreichend, daß alle in a aufgehenden Potenzen von 
Prim idealen auch in m auf gehen.