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14°, Sind a, b zwei beliebige Ideale, so gibt es ein durch a 
teilbares Hauptideal am von der Art, daß nt und b relative Prim- 
ideale werden. 
Für den Fall n — 1, in welchem alle Ideale Hauptideale sind, 
gehen die vorstehenden Sätze, deren strenge Beweise mir erst nach 
Überwindung von erheblichen Schwierigkeiten gelungen sind, in die 
Fundamentalsätze über die Teilbarkeit der ganzen rationalen Zahlen 
über. Dieselben Gesetze gelten daher auch für jeden Körper Sl von 
beliebigem Grade n, sobald alle seine Ideale Hauptideale sind, und 
für einen solchen Körper ist offenbar die Einführung der Ideale 
gänzlich überflüssig. Dies ist aber, wie schon oben bemerkt, im all 
gemeinen keineswegs der Fall, und hieran knüpft sich die Einteilung 
aller Ideale eines Körpers Sl in bestimmte Ideal-Klassen (D. §164). 
Zwei Ideale a, b heißen äquivalent, wenn es ein Ideal c gibt, für 
welches beide Produkte ac, bc Hauptideale werden; da aus dieser 
Definition unmittelbar folgt, daß zwei mit einem dritten äquivalente 
Ideale auch miteinander äquivalent sind, so bildet das System A aller 
Ideale, welche einem bestimmten Ideal a äquivalent sind, eine Klasse, 
welche ungeändert bleibt, wenn ihr Repräsentant a durch ein be 
liebiges, derselben Klasse A augehörendes Ideal ersetzt wird. Die 
Anzahl h dieser Klassen ist immer eine endliche; wählt man aus 
jeder Klasse nach Belieben ein bestimmtes Ideal als Repräsentanten, 
so ist jedes Ideal mit einem und nur mit einem dieser h Ideale 
äquivalent. Das System aller Hauptideale bildet die Hauptklasse 0; 
zu jeder Klasse A von Idealen a gehört eine bestimmte entgegen 
gesetzte oder reziproke, inverse Klasse A~ 1 , welche aus allen 
denjenigen Idealen besteht, die durch Multiplikation mit den Idealen a 
in Hauptideale verwandelt werden. Durchläuft nun a alle Ideale 
einer Klasse A, ebenso b alle Ideale einer Klasse B. so gehören die 
sämtlichen Produkte ab ein und derselben Klasse an, welche die 
aus A und B zusammengesetzte Klasse oder das Produkt 
aus A, B heißt und mit AB bezeichnet wird; diese Komposition 
oder Multiplikation der Ideal-Klassen gehorcht den Gesetzen 
AB = BA, (.AB)C = A{BG), 0A = A,AA~ 1 =0, A r A* = A r +*, 
A h — O, und aus AB — AC folgt B — C. 
Aus dem Satze A h — O folgt beiläufig, wenn man von dem 
endlichen Körper Sl wieder zu dem Gebiete aller ganzen algebraischen 
Zahlen übergeht, das wichtige Resultat, daß je zwei ganze Zahlen