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5°, Durchläuft a alle Zahlen eines Moduls a, ebenso ß alle 
Zahlen eines Moduls b, so bilden die Produkte aß und alle Summen 
solcher Produkte einen Modul, der das Produkt aus den Faktoren 
a, b heißen und mit ab bezeichnet werden soll, aber keineswegs 
durch a oder b teilbar zu sein braucht. Offenbar ist ab = ba und 
(ab)c = a(bc) = abc; die Bedeutung einer Potenz a r ist selbst 
verständlich. Aus a' ;> a und b' >• b folgt a'b' >> ab; ferner ist 
(a -J- b)c — ac -)— b c, 
(a — b) c ;> a c — b c, 
(a + b) (a — b) >> a b; 
ist ferner [1] >> o, so ist a >> oa, weil a [1] = a ist. Ist b ein ein 
gliedriger Modul [fi], so besteht das Produkt ab aus den Produkten 
«fi, wo a alle Zahlen des Moduls a durchläuft; ein solches Produkt 
a [fi] soll bequemer durch afi = fia bezeichnet werden; dann ist 
(afi)v = a(fiv), und aus afi — o'fi folgt immer a — a', wenn fi von 
0 verschieden ist. 
6°. Ist a ein beliebiger Modul, so bildet das System o aller 
derjenigen Zahlen cj, für welche das Produkt aco >> a wird, einen 
Modul, welcher die Ordnung des Moduls a heißen soll und offen 
bar stets ein Teiler des Moduls [1] ist; hieraus folgt unmittelbar, 
daß ao = a, und o 2 = o ist. Umgekehrt ist jeder Modul o, der ein 
Teiler von [1] und von o 2 ist, eine Ordnung, nämlich diejenige des 
Moduls o selbst. Der Begriff einer Ordnung bildet eigentlich nur 
einen speziellen Fall des Begriffes des Quotienten a:b von zwei 
beliebigen Moduln a, b, worunter der größte gemeinschaftliche Teiler 
aller derjenigen Moduln c zu verstehen ist, für welche das Produkt bc 
durch a teilbar wird; die Ordnung o eines Moduls a ist nämlich 
identisch mit dem Quotienten a : a, und die charakteristische Eigen 
schaft einer jeden Ordnung o wird durch die Gleichung o: o — o 
ausgedrückt. Doch wird von dem Begriff des Quotienten in dieser 
Abhandlung kein Gebrauch gemacht werden. 
§3. 
Ordnungen in einem endlichen Körper. 
Nach diesen allgemeinen Vorbereitungen kehren wir definitiv zu 
den Zahlen eines endlichen Körpers £1 vom Grade n zurück, und 
beschränken zunächst den Begriff des Moduls in der Weise, daß 
unter einem Modul a stets ein endlicher Modul [oq, « 2 • • • a n \ verstanden