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§5- 
Korrespondenz zwischen den Idealen in o' und 0. 
Man könnte nun eine Theorie der Ideale in o' aufstellen, welche 
sowohl in den Sätzen wie in ihren Beweisen eine vollständige Analogie 
mit der früheren Theorie der Ideale in o darbieten würde. Allein 
es ist viel bequemer, die neue Theorie auf die alte zurückzuführen. 
Dies geschieht durch die folgenden Sätze. 
1°. Ist a' ein Ideal in o', so ist oa' ein Ideal in o, und 
zwar relatives Primideal zu !; zugleich ist a' das kleinste 
gemeinschaftliche Vielfache, o der größte gemeinschaft 
liche Teiler von o' und oa', und folglich W'(a') — iV(oa'). Ist 
ferner b' ebenfalls ein Ideal in o', und oa' = ob', so ist a' = b'. 
Beweis. Der Modul oa' genügt der Bedingung o(oa') — oa', 
weil o 2 = o ist, und er ist teilbar durch oo' = o, weil a' > o' und 
[1] > o' >> o ist; also ist oa' ein Ideal in o. Aus o' = a' -j- ! folgt 
durch Multiplikation mit o ferner o = oa' -f- f, also sind oa' und f 
relative Primideale. Hieraus ergibt sich ferner (entweder nach der 
bekannten Theorie der Ideale in o, oder auch unmittelbar), daß ihr 
kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches f — oa' = !oa' = fa' ist. 
Wendet man nun den allgemeinen Satz (§2, 1°) 
(a -f b) — (a ■+ c) = a + (b — (a + c)) 
auf den Fall a = a', b = !, c — oa' an, so ergibt sich, weil a' + oa' 
— (o' -f- o)a' = oa' ist, 
o' — oa' = a' -f (f — oa') = a' -f- fa' 
= a'(o' -f-!) = a'o' = a'. 
Ferner ist 
o' oa' = f 4- a' -|- oa' = f -f- oa' = o. 
Hieraus ergibt sich (nach § 2, 2°) 
(o', oa') = (o', o') = (o, oa'), 
also N'(a') — W(oa'). Aus oa' = ob' folgt endlich, weil a' = o' — oa' 
und b' = o' — ob' ist, auch a' = b', was zu beweisen war. 
2°, Ist a ein Ideal in o, und zwar relatives Primideal 
zu f, so ist das kleinste gemeinschaftliche Vielfache a' von 
o', a ein Ideal in o', und zugleich ist oa' = a. 
Beweis. Zunächst ist o'a' oa = a, weil o' >> o, a' a ist; 
außerdem ist o'a'>>o', weil a'>► o' und o'o'= o' ist; mithin ist 
Dedekind, Gesammelte Werke, I. Q