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oV ein gemeinschaftliches Vielfaches von o', a und folglich auch 
teilbar durch a', d. h. a' genügt der Bedingung II, Nach einem für 
drei beliebige Moduln a, !, o' geltenden Satze (§ 2, 1°) ist ferner 
(o' - a) + (o' - f) = o' - (a + (o' - !)), 
und da in unserem Falle o' — a = a', o' — i = !, a f = o, o' — o 
= o' ist, so ergibt sich a' -(- f = o', also genügt a' auch der Be 
dingung HI und ist folglich ein Ideal in o'. Hieraus folgt (nach 
dem Satze 1°), daß oa' ein Ideal in o, und daß zugleich o = o a' -f— i, 
also auch a = oa'a -f- fa ist; da nun a, f Ideale in o sind, so ist 
fo ;> f >* o' und fa a, also muß fa, als gemeinschaftliches Viel 
faches von o', a, durch a' und folglich auch durch oa' teilbar sein; 
da nun auch oa'a durch oa' teilbar, also oa' ein gemeinschaftlicher 
Teiler von fa und oa'a ist, so folgt, daß a als größter gemeinschaft 
licher Teiler von oa'a und fa gewiß durch oa' teilbar ist; umgekehrt 
ist aber auch oa';>a, weil a' >> a und oa = a ist; mithin ist 
oa' — a, was zu beweisen war. 
Durch diese beiden Sätze ist eine eindeutige, gegenseitige Kor 
respondenz zwischen allen Idealen a' in o' und allen denjenigen 
Idealen a in o begründet, welche relative Primideale zum Führer f 
der Ordnung o' sind; die Korrespondenz zwischen a und a' besteht 
darin, daß gleichzeitig a = o a', und a' = o' — a ist. Offenbar ent 
sprechen sich auf diese Weise die beiden Ideale o und o'. 
Es ist schon oben (§ 4) bewiesen, daß jedes Produkt a'b' aus 
zwei Idealen a', b' in o' wieder ein Ideal c' in o', und zwar durch a' 
und durch b' teilbar ist; da nun o 2 = o ist, so ist gleichzeitig 
oa'-ob' = oa'b' = oc', also (nach § 1, 9°) W(oa'b') = N{oa')N(oV) 
und folglich auch 
JV'(o'b') = W'(a')W'(b'). 
Umgekehrt: wenn a', c' Ideale in o' sind, und wenn c' durch a' teil 
bar ist, so ist auch oc'>>oa', und folglich (§ 1, 10°) gibt es ein 
und nur ein Ideal b in o, für welches oc' = oa'b wird; da nun oc', 
also auch b, relatives Primideal zu f ist, so gibt es (nach 2°) ein 
und nur ein Ideal b' in o', für welches ob' = b wird; es ist daher 
oc' = oa'«ob' = o(a'b'), woraus (nach 1°) c' = a'b' folgt; wäre nun 
zugleich c' == a' b' und b' ebenfalls ein Ideal in o', so würde o c' = o a' 
•üb' = oa'-ob', und hieraus (nach § 1, 10°) ob' = ob', also auch 
b' = b' folgen. Hiermit ist folgender Satz bewiesen: