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folglich auch b relatives Primideal zu f! x ist, so ist b auch relatives 
Primideal zu ttj = !n', also b -j- fn' = o. Bedeutet ferner b' das 
dem Ideal b entsprechende Ideal in o' (§ 5), so ist b = ob', und aus 
Ofi = a'b, d. h. aus 0(0' fi) = o(a'b') folgt 0' fi = a'b'. Nun ist 
f >> 0' und nach Voraussetzung o'n' = n', folglich fn'>> n', und da 
ebenfalls n' >> 0' vorausgesetzt ist, so folgt fn' >- 0', also 0' — fn' 
= !n'; wendet man daher den allgemeinen Satz (§ 2, 1°) 
0 — b) + (a — c) = a — (b -f (a — c)) 
auf den Fall a = 0', c = fn' an und berücksichtigt außerdem, daß 
0' — b = b', und b -f- fit' = 0 ist, so folgt b' -{— fn' = o r — 0 = 0', 
woraus mit Rücksicht auf f n' >> n' >> 0' sich endlich auch b' -j- n' 
= 0' ergibt, was zu beweisen war. 
Es ist nun noch der oben vorläufig übergangene Beweis nach 
zuholen, daß man fi so wählen kann, daß NQa) positiv wird. Dies 
geschieht offenbar durch den Beweis des folgenden allgemeineren Satzes: 
2°. Ist m ein Modul des Körpers ß, und fi 0 eine bestimmte 
Zahl dieses Körpers, so gibt es unter den Zahlen ¿u, welche 
= fi 0 (mod. m) sind, unendlich viele, die eine positive Norm 
haben. 
Beweis. Dieser Satz ist selbstverständlich, sobald die sämtlichen 
Wurzeln der Gleichung /(©) = 0, aus welcher der Körper Sl abgeleitet 
ist, imaginär, und folglich die n Faktoren von N (fi) — fi' fi" ••• 
aus 1 j 2 n Paaren von zwei Zahlen a-\-bi, a — bi bestehen; und wenn 
die Gleichung eine oder mehrere reelle Wurzeln hat, so braucht man 
offenbar nur die diesen Wurzeln entsprechenden Faktoren von N (fr) 
zu betrachten, weil das Produkt der übrigen gewiß positiv ist. Da 
nun nach Voraussetzung die Basiszahlen des endlichen Moduls m zu 
gleich eine Basis des Körpers ii bilden, so kann die dem Körper 
angehörende Zahl 1 durch Multiplikation mit einer positiven ra 
tionalen Zahl m in eine Zahl m des Moduls m verwandelt werden, 
und wenn h eine beliebige ganze rationale Zahl bedeutet, so wird 
hm = 0 (mod. m), und folglich ^ = ( a 0 + hm = ft 0 (mod. m). 
Offenbar kann man nun die ganze rationale Zahl h positiv und so 
groß wählen, daß diejenigen Faktoren 
fi' — n' 0 -f- hm, fi" — fi'd + hm • • • fi^ n) — fi^ -f- hm, 
welche den reellen Wurzeln der Gleichung /(©) = 0 entsprechen, 
sämtlich positiv ausfallen, womit der Satz bewiesen ist.