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mit diesem letzteren äquivalent ist, so folgt 0' A — A, wo A eine 
beliebige Ideal-Klasse in o', und 0' die Hauptklasse in o' bedeutet. 
Da ferner, wenn a' ein beliebiger Repräsentant der Ideal-Klasse A 
in o' ist, immer ein solches Ideal b' in o' existiert, daß a' b' ein 
Hauptideal in o' wird, so gibt es eine Ideal-Klasse B' in o' von der 
Art, daß AB' = 0' wird; und zwar gibt es nur eine einzige solche 
Klasse B'\ denn wenn C ebenfalls eine Ideal-Klasse in o', und wenn 
AG' = 0' ist, so folgt AB'C = OB' = O'C = B' = C. Diese 
Klasse B' soll die zu A gehörende entgegengesetzte, oder die 
reziproke, oder inverse Klasse heißen und durch A —1 bezeichnet 
werden; offenbar ist A zugleich die inverse Klasse von A~ x . Sind 
nun A, B', 0' beliebige Ideal-Klassen derselben Ordnung o', so folgt 
aus AB' — AG' durch Multiplikation mit A'— 1 stets B' = C*). 
Sind ferner A\ B' beliebige Ideal-Klassen derselben Ordnung o', so 
gibt es immer eine und nur eine Ideal-Klasse C = A'~ 1 B' der 
Ordnung o', welche der Bedingung AG' = B genügt. 
§8. 
Korrespondenz zwischen den IdeaDKlassen in 0 und o'. 
Ist o wieder die aus allen ganzen Zahlen des Körpers Sl be 
stehende Ordnung, 0 die Klasse der Hauptideale in o, und o' eine 
beliebige Ordnung, so wird durch jede bestimmte Ideal-Klasse A der 
Ordnung o' eine bestimmte Ideal-Klasse OA — A der Ordnung 
oo' = o erzeugt, z. B. 0 selbst durch die Hauptklasse 0' der Ord 
nung o'. Umgekehrt, ist A eine Ideal-Klasse der Ordnung o, so 
gibt es in ihr immer einen Repräsentanten a, der relatives Primideal 
zum Führer I der Ordnung o' ist (denn nach § 1, 14° oder § 6 oder D. 
§163, 7. kann jedes Ideal der inversen Klasse A~ 1 durch Multiplikation 
mit einem solchen Ideal a in ein Hauptideal verwandelt werden, und 
dies muß folglich in A enthalten sein); dann ist a' = o' — a das 
korrespondierende Ideal in o', und oa' = a (§ 5, 2°), und wenn A 
die Ideal-Klasse in o' ist, welcher a' angehört, so ist OA — A; also 
wird jede Ideal-Klasse A der Ordnung o durch mindestens eine 
Ideal-Klasse A der Ordnung o' auf diese Weise erzeugt. Wir suchen 
nun zunächst alle Ideal-Klassen B’ der Ordnung o', welche dieselbe 
*) Dieser Satz verliert, wie man leicht sieht, seine allgemeine Gültigkeit, 
wenn die Klassen A\ B', C nicht derselben Ordnung angehören.