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Klasse A hervorbringen, so daß OB' — OÄ' wird; hieraus folgt 
aber OB'Ä'- 1 = 00\ also, wenn 
B'Ä'- 1 — M\ B' = M'A' 
gesetzt wird, 
OM' = 0. 
Umgekehrt, wenn M' eine der vorstehenden Bedingung genügende 
Ideal-Klasse der Ordnung o', und wenn B' = M'A' ist, so ist auch 
wirklich OB' — OA'. 
Der Komplex 9Ji' aller dieser Ideal-Klassen M', unter denen 
sich auch 0' und jede inverse Klasse M'~ 1 befindet, besitzt den 
Charakter einer Gruppe, insofern das Produkt von je zwei solchen 
Klassen M' offenbar wieder demselben Komplex W angehört. In 
den folgenden Paragraphen wird gezeigt werden, daß die Anzahl 
dieser Klassen M' eine endliche ist; wir wollen dieselbe mit m be 
zeichnen und zunächst ihre Bedeutung für das Problem nach weisen, 
welches den Hauptgegenstand dieser Abhandlung bildet. Ist A' eine 
bestimmte Ideal-Klasse in o', und durchläuft M' alle m Klassen der 
Gruppe 9JI', so bilden die sämtlichen Produkte M'A' einen Komplex 
von Klassen der Ordnung o', der mit WA' bezeichnet werden mag; 
da aus M[A' = M'^A' auch M\ — M 3 folgt (§ 7), so besteht ein 
solcher Komplex WA' aus m verschiedenen Klassen. Enthalten 
ferner zwei solche Komplexe 507'A\ WB' eine und dieselbe Klasse 
M\ A' — M' 2 B', so ist B'^M'-'M^A'^M'^A', wo M' 3 = M'-'M[ 
ebenfalls in 3)1' enthalten ist, und hieraus folgt offenbar, daß die 
sämtlichen m Klassen des Komplexes WB' mit denen von WA’ 
vollständig übereinstimmen. Man kann daher alle Ideal-Klassen der 
Ordnung o' in lauter verschiedene solche Komplexe von der Form 
A', WB' •“ einteilen. Nun ist oben gezeigt, daß jede bestimmte 
Ideal-Klasse A der Ordnung o in der angegebenen Weise durch die 
sämtlichen m Klassen eines bestimmten solchen Komplexes W A', 
und durch keine andere Klasse der Ordnung o' erzeugt wird, und 
daß umgekehrt alle m Klassen eines solchen Komplexes durch Multi 
plikation mit 0 eine und nur eine Klasse A der Ordnung o erzeugen. 
Mithin ist die Anzahl aller dieser Komplexe identisch mit der An 
zahl h der verschiedenen Ideal-Klassen der Ordnung o, deren Endlich 
keit schon bewiesen ist (D. § 164, 2°), und zugleich ergibt sich, daß 
Ti — mh 
die Anzahl aller verschiedenen Ideal-Klassen der Ordnung o' ist.