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Logarithmen von cp(ß') oder das Doppelte dieses reellen Teils be 
zeichnet werden, je nachdem 0' reell oder imaginär ist, und die 
Symbole l"{s), Z'"(«) • •• l (v) {s) sollen die entsprechende Bedeutung in 
bezug auf die anderen Wurzeln 0", ©'" • • • @ (v) haben. Dann folgt 
aus N (s) = 1, daß immer 
ist. Es wird nun zunächst bewiesen (D. § 166, 5.), daß es in jeder 
Ordnung o' immer (v—1) voneinander unabhängige, d. h. solche 
Einheiten pi, pa • • • pi-i gibt, für welche die Determinante 
weiche wir zur Abkürzung mit 
L (pi, Qi • • • Qv — x) 
bezeichnen wollen, einen von 0 verschiedenen (positiven) Wert besitzt. 
Läßt man nun w x , u 2 ■ • • u v ~ 1 alle ganzen rationalen Zahlen durch 
laufen, so erhält man eine Gruppe R' von unendlich vielen in o' 
enthaltenen Einheiten 
die sich durch Multiplikation und Division reproduzieren; je zwei 
verschiedenen Systemen von Exponenten entsprechen zwei verschiedene 
Individuen der Gruppe R'. Die Einheiten p^, pá • • • pá_i, welche 
eine Basis der Gruppe R' bilden, können offenbar ohne Änderung 
von R! und L(q[, pá ••• pv-i) durch je (v—1) Einheiten ersetzt 
werden, welche aus R' so ausgewählt sind, daß die aus den zu 
gehörigen (v — l) 2 Exponenten u gebildete Determinante = 1 wird. 
Bezeichnet man mit R' a den Inbegriff aller Produkte aus einer be 
stimmten Zahl a und jeder der in R' enthaltenen Einheiten, so sind 
zwei solche Komplexe entweder gänzlich identisch, oder sie haben 
keine einzige Zahl gemeinschaftlich; das System aller Einheiten s' 
der Ordnung o' besteht (D. § 166, 6.) aus einer endlichen, von 
R' abhängigen Anzahl r' solcher Komplexe, woraus leicht folgt, daß 
£ ir stets der Gruppe R' angehört. Hieraus ergibt sich unmittelbar, 
daß unter allen Systemen von (v — 1) unabhängigen Einheiten der 
Ordnung o' auch solche Systeme p', p¡ ••• py_i existieren, für welche 
die Determinante L{q[, pá ••• pá—0 einen Minimum wert erhält; 
dann besteht das System aller Einheiten s der Ordnung o' aus 
r' Komplexen von der Form 
R\ R'q\ R'q' 2 ... R'Q ,r '~\