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ist, wo X eine homogene Funktion %-ten Grades der n Variablen
x x , x s • • • x n mit „ ganzen rationalen Koeffizienten bedeutet, welche,
wie aus § 6 folgt, keinen gemeinschaftlichen Teiler haben; die De
terminante dieser Form X (§ 1) ist
= D(o, o') 2 = X)P,
wo D = z/(ß) wieder die Grundzahl des Körpers ß bedeutet. Alle Formen
X, welche allen verschiedenen Basen aller mit a' äquivalenten Ideale
entsprechen, sind äquivalent, d. h. sie gehen durch lineare Substitu
tionen mit ganzen rationalen Koeffizienten, deren Determinanten
= + 1 sind, ineinander über; jeder Idealklasse entspricht also eine
bestimmte Formenklasse. Der Multiplikation zweier Ideale a', b" der
Ordnungen o', o" oder der Komposition der sie enthaltenden Ideal
klassen A\ B" entspricht die Komposition der zu den Idealen a' b"
gehörigen Formen X, Y zu einer dem Ideal a' b" entsprechenden
Form Z, deren Determinante
= jD(o, o' o") 2
ist, und zugleich folgt hieraus die Komposition der Formenklassen*).
Um die Rückkehr von diesen allgemeinen Untersuchungen zu
dem Falle der quadratischen Körper und Formen zu erleichtern,
füge ich noch folgende Bemerkungen hinzu, von deren Richtigkeit
man sich leicht überzeugen wird (vgl, D. §§ 168 bis 170). Jede
Wurzel einer irreduktiblen quadratischen Gleichung ist von der
Form a -)- b yc, wo c eine ganze rationale Zahl bedeutet, welche
keine Quadratzahl und auch durch keine Quadratzahl außer 1 teil
bar ist; a und b sind rationale Zahlen, und b ist von 0 verschieden.
Die Grundzahl D des quadratischen Körpers ß, welcher aus der
Zahl a -\-b^c entspringt, ist = c oder = 4 c, je nachdem c = 1,
oder c = 2, 3 (mod. 4) ist; setzt man
so bilden die Zahlen 1, & eine Basis der Ordnung o, welche aus
allen ganzen Zahlen
t + u] 1 D
co =
*) Da, wie schon oben (§ 7, Anmerkung) bemerkt ist, Moduln existieren,
welche keinem Ideal äquivalent sind, so ist, was ich hervorheben zu müssen glaube,
in dem Obigen noch nicht die Theorie aller zerlegbaren Formen enthalten, welche
den sämtlichen Moduln eines Körpers íi entsprechen.
