XVIII. 
Theorie der algebraischen Funktionen einer 
V eränderlichen. 
[In Gemeinschaft mit Heinrich Weber veröffentlicht im Journal für reine 
und angewandte Mathematik, Bd. 92, S. 181—290, 1882 (datiert Oktober 1880).] 
Einleitung. 
Die im nachstehenden mitgeteilten Untersuchungen verfolgen 
den Zweck, die Theorie der algebraischen Funktionen einer Ver 
änderlichen, welche eines der Hauptergebnisse der Riemannschen 
Schöpfung ist, von einem einfachen und zugleich strengen und völlig 
allgemeinen Gesichtspunkt aus zu begründen. Bei den bisherigen 
Untersuchungen über diesen Gegenstand werden in der Regel gewisse 
beschränkende Voraussetzungen über die Singularitäten der betrachteten 
Funktionen gemacht, und die sogenannten Ausnahmefälle entweder 
als Grenzfälle beiläufig erwähnt oder auch ganz beiseite gesetzt. 
Ebenso werden gewisse Grundsätze über die Stetigkeit und Entwickel- 
barkeit zugelassen, deren Evidenz sich auf geometrische Anschauung 
verschiedener Art stützt. Eine sichere Basis für die Grundvorstellungen 
sowie für eine allgemeine und ausnahmslose Behandlung der Theorie 
läßt sich gewinnen, wenn man von einer Verallgemeinerung der Theorie 
der rationalen Funktionen einer Veränderlichen, insbesondere des 
Satzes, daß jede ganze rationale Funktion einer Veränderlichen sich 
in lineare Faktoren zerlegen läßt, ausgeht. Diese Verallgemeinerung 
ist einfach und bekannt in dem ersten Falle, in welchem die von 
Riem an n mit p bezeichnete Zahl (das Geschlecht nach C leb sch) 
den Wert Null hat. Für den allgemeinen Fall, welcher sich zu dem 
eben genannten ähnlich verhält, wie der Fall der allgemeinsten alge 
braischen Zahlen zu demjenigen der rationalen Zahlen, wiesen die 
mit bestem Erfolge in der Zahlentheorie angewandten Methoden, die