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Punktes derselben samt den auf die Stetigkeit der algebraischen Funk
tionen gegründeten Anschauungen voraussetzen wollte. In unserer Arbeit
ist umgekehrt auf einem langen Umwege die Theorie der Ideale alge
braisch begründet und aus dieser eine vollkommen präzise und strenge
Definition des „Punktes der Riemannschen Fläche“ gewonnen, welche
auch als Basis für die Untersuchung der Stetigkeit und der damit
zusammenhängenden Fragen dienen kann. Diese Fragen, wozu auch die
auf die AbeIschen Integrale und die Periodizitätsmoduln bezüglichen
gehören, bleiben von unserer Untersuchung einstweilen ausgeschlossen.
Wir hoffen bei einer anderen Gelegenheit darauf zurückzukommen.
Königsberg, den 22. Oktober 1880.
I. Abteilung.
§1-
Körper algebraischer Punktionen.
Eine Variable 0 heißt eine algebraische Funktion einer un
abhängigen Veränderlichen 2, wenn dieselbe einer irreduktibeln alge
braischen Gleichung
(1) F(9,z) = 0
genügt. F bedeutet hierin einen Ausdruck von der Form
F (0,2) = d 0 0 n -j- d 1 6 n ~ 1 + •••-(- d n — x 0 -j- d n 1
worin die Koeffizienten d 0 , d v - ■ • a n ganze rationale Funktionen von
2 ohne gemeinschaftlichen Teiler sind. Die vorausgesetzte Irreduktibilität
der Gleichung (1) involviert, daß 0 nicht einer Gleichung niedrigeren
Grades in bezug auf 0 genügt, und, wie sich aus dem Algorithmus
des größten gemeinschaflichen Teilers ergibt, wenn
ö(0,z) = M w + M m_1 -1 M m _i0 ~\rb m = 0
eine zweite Gleichung ist, welcher 0 genügt, daß G (0,2) durch F (0,2)
algebraisch teilbar sein muß. Es läßt sich nun nachweisen, daß O (0,2)
auch in bezug auf 2 nicht von niedrigerem Grade sein kann als F (0,2)
und nur dann vom selben Grade, wenn sich aus G(0,2) ein von 2
unabhängiger Faktor absondem läßt. Nehmen wir an, die Koeffizienten
& 0 , • • • 6 m seien von gemeinschaftlichen Faktoren befreit, und be
zeichnen wir mit
#(0,2) = C o 0™-" + C 1 0«-"- 1 + ...-|-C TO _ n
den vom Nenner befreiten Quotienten von Q durch F, so ist
fcö(0,2) = F (0, z) • H (0,2),
Dedekind, Gesammelte Werke, I. 10
