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die Gleichung niedrigsten Grades, deren Koeffizienten in z rational 
sind, welcher die Funktion £ genügt, und mithin qp, (£) = 0 irreduk- 
tibel, e<w. Da gleichwohl qp(£) verschwindet, so muß qp(£) durch 
qpi(£) algebraisch teilbar sein, und wie in § 1 ergibt sich, daß jede 
rationale Funktion rj von z und £ in der Form darstellbar ist 
V — x o x \ £ + * • • + x e—\ £ e 1 j 
deren Koeffizienten x 0 , aj 1? ■ • • x e _ 1 rational von z abhängen *). Ist nun 
6 f -f- rji Qf~ x H f vj f -1 6 + rif — 0 
die Gleichung niedrigsten Grades, welcher 6 genügt, deren Koeffizienten 
rational von z und £ abhängen, so besteht zwischen den e.f Funktionen 
(11) £ Ä 6 k (h— 0, 1, • • • e— 1; k— 0, 1, • • • /— 1) 
keine lineare Gleichung mit rational von z abhängigen Koeffizienten, 
während jede Funktion in £i linear mit rational von z abhängigen 
Koeffizienten durch diese Funktionen darstellbar ist. Es ergibt sich 
daraus, daß dieselben eine Basis von il bilden, und daß sonach 
e.f — n, 
also e ein Teiler von n ist. 
Wendet man die Basis (11) zur Aufstellung der Norm von £ an, 
so erkennt man leicht mittels der Gleichung (10), daß 
N(t) = ((- iyv,y = (- 1 Yb'f 
wird. Da ferner für ein beliebiges konstantes t die Funktion £ — t 
einer Gleichung von demselben Grade genügt wie £, so ergibt sich 
der Satz: 
Die Funktion cp(t) (3) ist entweder irreduktibel oder 
eine ganze Potenz einer irreduktibeln Funktion. 
Ist i^, rj 2 , ••• r] n ein beliebiges System von n Funktionen in £i, 
gleichviel ob dasselbe eine Basis bildet oder nicht, so führen wir 
eine zu diesem System gehörige rationale Funktion von z ein, die wir 
als dessen Diskriminante, A {rj l: rj ä , • ■ • rj n ) bezeichnen und folgender 
maßen definieren 
(12) ^ Oh, %>•••*?«) 
• vn) 
■ 8(v* Vn) 
s (Vn %)» s (Vn %), • 
■ S {rin rj n ) 
*) Aus der Gleichung <p 1 (£) = 0 entspringt ein Körper algebraischer Funk 
tionen £2 1 vom Grade e, dessen Funktionen sämtlich zugleich im Körper £2 ent 
halten sind, und der daher als ein Teiler des Körpers £2 bezeichnet werden kann.