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Die Diskriminante ist dann und nur dann nicht identisch 
Null, wenn die Funktionen^ 15 ij 2 , ••• rj n eine Basis von ß bilden. 
Um den ersten Teil dieser Behauptung zu beweisen, nehmen 
wir an, es sei A (i^, • • • rj n ) = 0. Es läßt sich unter dieser 
Voraussetzung ein System rationaler Funktionen y x , y 2 , ••• y n von z, 
die nicht alle identisch verschwinden, so bestimmen, daß 
Vi 8 (Vi Vk) + 2/a 8 (% Vk) d h yn 8 (.Vn Vk) 
— 8 {rj k {y x % + y 2 rj 2 H h yn Vn)) = 0. 
(k = 1, 2, • • • n) 
Wählt man daher ein System rationaler Funktionen £c 1? x 2 ,---x n 
von z, ganz beliebig und setzt: 
Vi Vi + Vi V2 H + Vn Vn = »b 
•^1 T~ ^?2 ~t~ ‘ ' ' X n Vn == £1 
so folgt: 
8(tv) = 0. 
Wenn aber die Funktionen rj 2 , • • • rj n eine Basis von ß bilden, 
so kann £ jede beliebige Funktion in ß, also, da rj nicht verschwindet, 
beispielsweise auch — sein. Dann ist aber die letzte Gleichung 
V 
sicher nicht erfüllt, und es kann also unter dieser Voraussetzung 
die Diskriminante von 17,, v%->'" Vn nicht identisch verschwinden. 
Halten wir die Annahme fest, daß rj 2 , • • • rjn eine Basis von ß 
sei, und setzen; 
Vk — k Vi ®2, V2 T - ' ~h k yn 1 (k = t, 2, • • • ») 
so bilden die Funktionen tji, rj' 2 , • • • v' n eine Basis von ß oder nicht, 
je nachdem die Determinante der rationalen Funktionen x hi# von z 
1 •*% 2 ■ ' ’ W 
von Null verschieden ist oder nicht. Nun ist aber 
t, 1' 
8 (rj'h v'k) = 2 Xl > h x <-\ k 8 (»7* rjc'), 
1, n 
und daraus ergibt sich nach dem Multiplikationssatz der Deter 
minanten der Hauptsatz über die Diskriminanten 
( 13 ) rj2, v'n) = X 2 A (%,. rjn), 
woraus auch die Richtigkeit des zweiten Teils der obigen Behauptung 
erhellt, daß die Diskriminante eines Funktionensystems stets dann 
identisch verschwindet, wenn dasselbe keine Basis von ß bildet.