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ein Modul, wenn sich die Funktionen desselben durch Addi 
tion, Subtraktion und durch Multiplikation mit ganzen 
rationalen Funktionen von z reproduzieren. 
Bezeichnet man mit a x , a 3 , ••• a m irgend m gegebene Funktionen, 
mit a^, x 2 , x m willkürliche ganze rationale Funktionen von z, so 
bildet der Inbegriff aller Funktionen von der Form 
Ci X^ C^i -(- X 2 0C 2 T~ ‘ ' * d - 
einen Modul, Ein solcher soll ein endlicher Modul genannt und mit 
Cl 5 ' ®m] 
bezeichnet werden. Das Funktionensystem a x , « 2 , ... a rn heißt die 
Basis dieses Moduls. 
Wir wollen ein Funktionensystem oi 2 , • • • a m rational irre- 
duktibel oder die Funktionen a 2 ,---o: TO rational unabhängig 
nennen, wenn eine Gleichung von der Form 
Kj -f- X 2 CC 2 -|- * ~}~ M m — 0 
für rationale x nur dann bestehen kann, wenn x 1 — 0, x 2 = 0, • • • x m — 0 
ist. Ein Funktionensystem, welches eine Basis des Körpers £1 bildet, 
ist daher stets rational irreduktibel, und es gibt kein System von 
mehr als n rational unabhängigen Funktionen in Si. 
Wir beweisen nun zunächst den Satz: 
1. Jeder endliche Modul besitzt eine rational irreduk- 
tible Basis. 
Der Beweis desselben ergibt sich unmittelbar aus dem folgenden 
Hilfssatz: 
Sind die ganzen rationalen Funktionen y 2 ,i, ■■■ y m ,i ohne 
gemeinschaftlichen Teiler, so lassen sich andere ganze rationale 
Funktionen y h2 , 2/2,2, • • • y m ,m so bestimmen, daß 
IS it Dl, 1 2/2,2 * * * ym, m 1 *)• 
*) Der Satz ist richtig und bekannt für m — 2. Nehmen wir also an, er 
sei bewiesen für m — 1, so können wir, wenn 3 den größten gemeinschaftlichen 
Teiler von yi,i, i/2,1, ••• ym — 1,1 bedeutet, der Gleichung genügen 
i/1,1 ’ 
i/2,1» • 
ym — 1,1 
y\, 3’ 
2/2, 3 » ’ 
‘ ' ym —1,3 
Vl, m 
■V2 ,m ' 
ym—1 ,m 
und wenn wir also die ganzen rationalen Funktionen x, y so bestimmen, daß 
x y m , 1 — yt> — (—l)m —i