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Genügen nun die Funktionen a x , a 2 , • • • a m einer Gleichung 
L 
2 yi, i == o, 
1, m 
in welcher die ganzen rationalen Funktionen y hl ••• y ma ohne gemein 
schaftlichen Teiler angenommen werden können, so setze man 
L 
2^2 «« — ßäl 
1, m 
2km ßm] 
1, m' 
dann ist der Modul [a 15 a 2 , a OT ] völlig identisch mit dem Modul 
[ß a , ß 3 , ßm], dessen Basis eine Funktion weniger enthält. Sind die 
Funktionen ß t noch nicht rational unabhängig, so kann man sie in 
derselben Weise weiter reduzieren, und gelangt schließlich, falls die 
Funktionen cc t nicht sämtlich verschwinden (ein Fall, welchen wir 
von dem Modulbegriff ganz ausschließen wollen) zu einer irreduktibeln 
Basis. Wir werden in der Folge unter einer Basis schlechtweg stets 
eine irreduktible Basis verstehen. 
2. Obwohl man nach dem vorhergehenden für einen und den 
selben Modul sehr verschiedene irreduktible Basen auffinden kann, 
so ist doch die Zahl der Funktionen, die in einer solchen enthalten 
sind, stets dieselbe, da im entgegengesetzten Fall dasjenige Funktionen 
system, welches mehr Funktionen enthält, nicht rational irreduktibel 
sein könnte. Sind also cc x , cc 2 , • - ■ cc m ; ß t , ß a , • • • ß m zwei irreduktible 
Basen desselben Moduls a, so ist, da sowohl die cc k als die ß k in a 
enthalten sind: t t 
«/: = 2 Vk ßt] 0/fe = 2 
1, m 1, vi 
worin die Koeffizienten p, q ganze rationale Funktionen von z sind. 
Hieraus aber folgt: t 
S i l> P® = 0 oder 1, 
1, m 
ist, so folgt: 
2/2, i ’ 
2/m — 1,1’ 
*2/1,1 *2/ 2 ,i 
* 2/m-1,1 
3 ’ 
3 ’ 
2/i, 3’ 
2/2,8’ 
2/m —1,3’ 
2/i,m 
2/2, m’ " 
2/m — im’