Quotient ist, falls er nicht aus der einzigen Funktion „Null“ besteht, 
ein Modul c, was sofort aus der Definition erhellt. Das Produkt — • a 
a 
ist jederzeit durch b teilbar, wenn auch nicht immer gleich b. 
§ 5. 
Kongruenzen. 
Zwei Funktionen «, ß heißen kongruent nach dem Modul a 
a = ß (mod. a), 
wenn die Differenz der beiden Funktionen, a — /3, in dem Modul a 
enthalten ist. 
Aus dieser Definition ergeben sich unmittelbar die folgenden Sätze: 
1. Ist a = ß, ß = y (mod. a), so ist a = y (mod. a). 
2. Ist b irgendein Teiler von a, so folgt aus a = ß (mod. a), 
daß auch a = ß (mod. b) ist. 
3. Ist a = ß (mod. a), n eine beliebige Funktion in ß, so folgt 
pa = [iß (mod. ¿ra), und umgekehrt folgt aus der letzteren Kongruenz 
die erstere, wenn fi von Null verschieden. 
4. Ist ß = /3, a l = /3, (mod. a), so ist auch a + a 1 = l3 + /3., (mod. a). 
Sind A n A 3 , • • • A OT beliebig gegebene Funktionen in ß,Cj,c 2 , ••• c m 
willkürliche Konstanten, so heißt der Inbegriff aller Funktionen 
von der Form 
Aj "j - ^2 A2 T" • • • T~ Am 
eine Schar und wird mit (A 15 A 3 , ••• k m ) bezeichnet. Das Funktionen 
system A x , A 3 , ■ A OT heißt die Basis der Schar. Die Funktionen 
A 1? A a ,**-A m heißen linear unabhängig oder ihr System linear 
irre du kti bei, wenn eine Gleichung (Identität) von der Form 
c i Ai + g 2 A a -f- • • • -j- c m X m — 0 
nicht anders bestehen kann, als wenn die konstanten Koeffizienten 
Cj, c 2 , ••• c m alle verschwinden. 
Hiernach gilt der Satz, daß jede Schar eine linear irreduk- 
tible Basis besitzt. Denn ist c 1 A x -|- c 2 A a + •••-)- c m A m = 0 und 
c, von Null verschieden, so ist die Schar (A 15 A 3 , • • • A m ) identisch 
mit der Schar (A 3 , A 3 , • • • A m ), deren Basis eine Funktion weniger 
enthält. Ist diese noch nicht linear irreduktibel, so kann man auf 
die gleiche Weise weiterschließen. Auch hier soll in der Folge unter 
einer Basis schlechtweg eine irreduktible Basis verstanden sein. Die 
Anzahl der Funktionen, welche in einer irreduktiblen Basis einer