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System 
a bildet, und daß 
eine Funktion (i r 
men, daß 
ßr 
S 
ndet, rational un- 
also auch in dem 
siden Moduln ent- 
3asis von m bilden, 
[fache von a und 
h, nt 2 , ••• tn s jeder 
und 
Daher ist 
= o, 
Hiernach enthält eine irreduktible Basis des Moduls m genau 
ebenso viele Funktionen wie eine irreduktible Basis von b. Wählt 
man statt der Basis fi x , (i 2 , ••• fi g eine andere ¿u.i, (i' 2 • • • ft' s , so läßt 
sich ft-2, • • • [i' s in der Form ausdrücken 
k — «X, k ßi «2, k 4" ''' a s, k ßs 
mit ganzen rationalen Koeffizienten a^, und aus § 4, 2. ergibt sich 
(b, o) = konst. 2 ±»i,i «2,2 • • • 
4. Machen wir insbesondere die Annahme, es sei a gleichfalls 
ein endlicher Modul, der eine irreduktible Basis von ebenso vielen 
Funktionen besitzt wie b, und es sei außerdem a teilbar durch b, 
dann lassen sich, wenn 
a — [oij, w 2 , • ’ ■ k s ] 
ist, die ganzen rationalen Funktionen b t)fc von z so bestimmen, daß 
= &i, Je ß x + &2, * ßi + • • • +• k ßsi 
und die Voraussetzung von 3., daß die Funktionen ß t durch Multi 
plikation mit ganzen rationalen Funktionen von z in Funktionen des 
Moduls a verwandelt werden können, ist erfüllt, wie man durch 
Auflösung dieses Gleichungssystems erkennt. Zugleich ist hier a selbst 
das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von a und b, und daraus 
ergibt sich a) = konst. S i K,i &2,2 • • • b n>n . 
5. Ist nt das kleinste gemeinschaftliche Vielfache zweier Moduln 
a, b und v eine beliebige Funktion in ii, so ist, wie sich aus der 
Definition ohne Schwierigkeit ergibt, vm das kleinste gemeinschaft 
liche Vielfache von va und vb. Ist (b, a) = 0, so ist auch (vb, va) = 0. 
Ist aber (b, a) und v von Null verschieden, so ergibt sich 
(v b, v a) = (b, a), 
wemi man in 3. die Basis-Funktionen ¿i t , ß t von m und b durch v ¡a ( , 
v ß, ersetzt. 
Die Ideale in o. 
Ein System a von ganzen Funktionen von z im Körper il heißt 
ein Ideal, wenn es die beiden folgenden Bedingungen erfüllt: 
I. Summe und Differenz je zweier Funktionen in a ergeben wieder 
eine Funktion in a. 
II. Das Produkt einer jeden Funktion in a mit einer jeden 
Funktion in o (§ 3) ist wieder eine Funktion in a.