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Jedes Ideal ist also zugleich ein Modul und alle für die Moduln 
erklärten Begriffe und Bezeichnungen können auf die Ideale ange 
wandt werden. 
Der Modul o (das System aller ganzen Funktionen von z) ist 
selbst ein Ideal, und jedes Ideal ist durch o teilbar. Ebenso 
ist, wenn fr eine beliebige von Null verschiedene Funktion von o be 
deutet, der Modul Ofi (das System aller durch ft teilbaren ganzen 
Funktionen) ein Ideal. Ein solches Ideal soll ein Hauptideal 
genannt werden. Ist ca v o 3 , . . . a n eine Basis von o, so ist 
Ofi = [djfi, « 2 fr, . . . 
und Oft ist das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von o und oja. 
Daher ist nach § 6, 4. und nach der Definition (4.) in § 2: 
(1) (o, Oft) = konst. N(fi) 
und mithin von Null verschieden. 
Ist a irgend ein Ideal und a eine beliebige Funktion in a, so ist 
(wegen II.) das Hauptideal o« teilbar durch a, und mithin nach § 6, 2.: 
(2) (o, o«) = (o, a) (a, o«), 
mithin auch (o, a) von Null verschieden. Da nun wieder a das kleinste 
gemeinschaftliche Vielfache von a und o ist, so besitzt o nach § 6, 3. 
eine irreduktible Basis, welche aus n ganzen Funktionen cc v cc 2 , ... a n 
besteht, die demnach auch eine Basis des Körpers Q bilden. 
Die Norm von a in bezug auf o, d. h. die ganze rationale Funktion 
(o, a) von z soll die Norm des Ideals a genannt und mit N(a) be 
zeichnet werden. Der Grad dieser ganzen rationalen Funktion heißt 
zugleich der Grad des Ideals a. 
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mit ganzen rationalen Koeffizienten so ergibt sich aus § 6, 4.: 
(3) N (a) = konst. 2 ± «i, i «2,2 • • • an, n • 
Da jede Funktion in o, also auch die Funktion „1“ durch Multi 
plikation mit N (a) in eine Funktion des Ideals a verwandelt wird, 
so ist N (a) stets eine Funktion in a. 
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