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5. Definition. Zwei Ideale a, b heißen relativ prim, wenn 
ihr größter gemeinschaftlicher Teiler o ist. Die notwendige und 
hinreichende Bedingung dafür ist, daß in a eine Funktion a, in b 
eine Funktion ß existiert der Art, daß 
« + /5=1, 
oder, anders ausgedrückt, daß in a eine der Kongruenz « = 1 (mod. b) 
oder in b eine der Kongruenz ß = l (mod. a) genügende Funktion 
existiert. 
6. Definition. Ein von o verschiedenes Ideal p heißt ein Prim 
ideal, wenn kein anderes Ideal außer p und o in p auf geht. 
Auf Grund dieser Definitionen ergeben sich nun die folgenden 
Sätze über die Teilbarkeit der Ideale. 
7. Sind a, b zwei Ideale mit dem kleinsten gemeinschaftlichen 
Vielfachen m und dem größten gemeinschaftlichen Teiler b, so folgt 
aus § 6, 1., 2. 
N (m) = N (b) (b, m) = N (b) (b, a), 
N{a) = N (b) (b, a) = N (b) (b, a), 
folglich (b, a) von Null verschieden und 
N (a) N (b) = N (m) N Qi). 
8. Ist das Ideal a teilbar durch das Ideal b, so ist, nach § 6, 2. 
N (ci) == (b, a) N (b), 
also N (a) teilbar durch N (b). 
Ist insbesondere (b, a) = 1, so ist auch b teilbar durch a, und 
es folgt: 
9. Ist a teilbar durch b und ist zugleich N (a) = N (b), so ist 
a = b, d. h. beide Ideale sind identisch. 
10. Ist a teilbar durch ct 1? b durch b 15 so ist ab teilbar durch 
«A (§ 4, 7.). 
11. Ist ein Ideal a teilbar durch ein Hauptideal o^i, so sind 
alle Funktionen in a von der Form ß fx, und der Inbegriff der Funk 
tionen ß ist wieder ein Ideal b, so daß man setzen kann 
a = fib. 
12. Ist fi eine beliebige von Null verschiedene Funktion in o 
und das Ideal cifi teilbar durch das Ideal h(i, so ist a teilbar durch b, 
und aus afi = hfi folgt a = b,