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tiv prim, wenn 
notwendige und 
Funktion oc, in b 
nz a = 1 (mod. b) 
lügende Funktion 
) heißt ein Prim- 
p aufgeht, 
m die folgenden 
emeinschaftlichen 
Teiler b, so folgt 
ist, nach § 6, 2. 
•ar durch a, und 
I = N (b), so ist 
a b teilbar durch 
ieal 0(i, so sind 
Degriff der Funk 
kann 
e Funktion in o 
i teilbar durch b, 
13. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache zweier Ideale a, ov, 
davon eines ein Hauptideal ist, hat nach 11. die Form rv, worin r 
ein Ideal ist. Da andererseits av ein gemeinschaftliches Vielfache von a 
und ov, also durch rv teilbar ist, so ist nach 12. r ein Teiler von a. 
14. Ist a ein Ideal, v eine Funktion in o, so ist nach § 6, 2., 5.: 
(o, av) — (o, ov) (ov, av) = (o, ov) (o, a), 
also 
N (av) = konst. N (a) N (v). 
Ist also rv das kleinste gemeinschaftliche Vielfache, b der größte ge 
meinschaftliche Teiler der beiden Ideale a, ov, so ergibt sich aus 7. 
N(a) = N (r) JV(b). 
15. Jedes von o verschiedene Ideal a ist durch ein Primideal p 
teilbar. 
Ist nämlich a kein Primideal, so hat es mindestens einen von o 
verschiedenen echten Teiler, und von diesen sei p ein solcher, dessen 
Norm von möglichst niedrigem Grade ist. Dieser kann keinen von o 
verschiedenen echten Teiler p' haben, denn es wäre auch p' ein Teiler 
von a und zugleich (nach 8.) N (p') von niedrigerem Grade als N (p). 
Dies widerspricht der Voraussetzung über p, und folglich ist p ein 
Primideal. 
16. Ist et relativ prim zu b, so ist ab das kleinste gemeinschaft 
liche Vielfache von a und b, und folglich ist jedes durch a und 
durch b teilbare Ideal auch durch das Produkt ob teilbar. 
Denn nach Voraussetzung gibt es in o, b zwei Funktionen cc v ß t 
der Art, daß 
a i + ßi = 1 
ist (5.). Ist andererseits cc — ß eine Funktion des kleinsten gemein 
schaftlichen Vielfachen m von o und b, so ist hiernach 
CC ß OCj ß cc ßi, 
also eine Funktion in o b. Es ist demnach m teilbar durch a b, und da 
umgekehrt (zufolge 2.) ab durch nt teilbar ist, so ist m mit ab iden 
tisch, und aus 7. folgt noch für diesen Fall 
iV(ab) = N (a) N (b). 
17. Ist a ein beliebiges Ideal, p ein Primideal, so ist entweder a 
durch p teilbar oder a relativ prim zu p; denn da p keinen anderen 
Teiler hat als o und p, so kann auch der größte gemeinschaftliche 
Teiler von a und p kein anderer sein als o oder p.