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die Exponenten h L die Reihe der Zahlen 0, 1, 2,... e t durchlaufen läßt 
(wobei unter p° das Ideal o zu verstehen ist). Sind a, b zwei Ideale 
a = pf p e *. .. p®r; b = pf p£s... pf r 
(worin die Exponenten e, / auch zum Teil Null sein können), so erhält 
man den größten gemeinschaftlichen Teiler und das kleinste gemein 
schaftliche Vielfache von a und b in der Form 
Pf Pf • • . Pf , 
wenn man für g v gr 2 , ... g r für ersteren die kleinsten, für letzteres 
die größten unter den Zahlen e v / x ; c 2 , / 2 ; ... e n /„ nimmt. 
6. Sind a, b irgend zwei Ideale, so ist allgemein 
N(ab)= N (a)N (b). 
Beweis. Es sei, wie in 5., a = a,, so gibt es, weil a x ein 
echter Teiler von a ist, in a x eine durch a nicht teilbare Funktion rj. 
Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache und der größte gemeinschaft 
liche Teiler von a und orj sind bzw. p 1 rj und a x , wie sich (nach 5.) 
sofort aus der Zerlegung von a und orj in ihre Primfaktoren ergibt. 
Hieraus folgt aber nach § 8, 14. 
N(a) = N(p 1 )N(a 1 ). 
Durch Wiederholung desselben Schlusses für a x usf. ergibt sich, wenn 
« = PiP 2 ••• Pr ist: 
und daraus 
N(a) = N{p 1 )N{p i )...N(p r ) 
N{ab) = N(a)N(h). 
7. Jedes Primideal ist ein Ideal ersten Grades (§ 7) und um 
gekehrt, jedes Ideal ersten Grades ist ein Primideal*). 
Beweis. Ist p ein Primideal, so ist N(p) durch p teilbar, und 
daher wenigstens einer der Linearfaktoren von N (p), etwa z — c, durch p 
teilbar (§ 8, 18.). Ist ca eine beliebige Funktion in o, welche der 
Gleichung genügt: 
co n -\- a 1 co n 1 -p • • • ~p cb n —i öb®« — 0? 
so erhält man daraus, indem man die ganzen rationalen Funktionen a v 
a 2 , ... a n auf ihre konstanten Reste a^\ a^\ ... a№ nach z — c redu 
ziert, und die ganze Funktion 
co n -p co n ~ 1 -p • • • -p a№ ca -p a№ 
1 1 11 n—1 ' n 
*) Durch diesen Satz unterscheidet sich die Theorie der algebraischen Funk 
tionen wesentlich von der analogen Theorie der algebraischen Zahlen. 
Dedekind, Gesammelte Werke, I. ^g