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Multipliziert man die letzte Gleichung mit D, so ergibt sich aus (4) 
e D $ = f b, 
folglich 
(8) D e = 5 b 
und durch Multiplikation dieser Gleichung mit e nach (7) 
(9) De 2 = b. 
5. Ist ö eine ganze Funktion von 2 in ß und N (t — 6) = f (i), 
so ist /'(ö) teilbar durch das Verzweigungsideal j. 
Beweis. Ist f{t) reduktibel, so ist f (ß) = 0, also sicher teilbar 
durch j. Im anderen Fall ist nach § 10, 11. 
e/'W = * 
ein Ideal, folglich durch Multiplikation mit j nach (7) 
(10) of'(ß) = U. 
Zugleich folgt, wenn wir wie in § 10, 11. 
ßr — jfcOO üj ? 
Ä: = ^± 
Nf'{ß) == JV'(f) JV(s) = 
= konst. & 2 Z) [§ 10, (11) und § 2, (13)], 
N (f) == konst. 1c 2 
ein vollständiges Quadrat. 
§ 12. 
Die gebrochenen Funktionen von z im Körper £2. 
1. Jede beliebige Funktion rj in £1 läßt sich nach § 3, 3. auf 
unendlich viele Arten als Quotient zweier ganzen Funktionen von z 
darstellen (der Nenner kann sogar eine ganze rationale Funktion 
von 2 sein). Es sei also 
und jr, v ganze Funktionen von 2 (Funktionen in 0), Ist nun m der 
größte gemeinschaftliche Teiler der beiden Hauptideale 0 fi, ov, also, 
wenn a, b relative Primideale sind, 
(1) 0 fi = a tu, 0 v — b m, 
so folgt (§ 4, 6.) 
(2) av = bfi oder arj = b.