292 
und folglich 
cp' (ß^)dd l == 0 
ist. Da aber cp' (ö x ) vom Grade m — 1 ist, so muß d 6 X = 0, also 
dx 1 = 0, d x a — 0, ... dx ni = 0 sein. Daher kann nur m = n x sein. 
Ist also ß 1 so bestimmt, daß die Gleichung niedrigsten Grades 
-Fi (0i, z x ) = 0 
den Grad n x wirklich erreicht, so lassen sich alle Funktionen in ß, 
und zwar nur auf eine Weise in der Form darstellen 
v = + ••• + 0? 1 “ 1 , 
worin die Koeffizienten .rW, a^ x) , ... x ( ^_ l rational von z x abhängen; 
denn man kann unter dieser Voraussetzung , ... rff ver 
mittelst der Gleichungen (5) in der angegebenen Weise darstellen. 
Es lassen sich also sowohl z x , 6 X rational durch z, 0, als 
auch umgekehrt z, 6 rational durch z v 6 X darstellen. 
Die Variable z, die wir bisher als die unabhängige bezeichnet 
haben, kann daher jede beliebige (nicht konstante) Funktion des 
Körpers ß sein. Während aber die Gesamtheit aller Funktionen des 
Körpers ß gänzlich ungeändert bleibt, sind die Begriffe: Basis, 
Norm, Spur, Diskriminante, ganze Funktion, Modul, Ideal 
wesentlich abhängig von der Wahl der unabhängigen Veränder 
lichen z. 
In dem besonderen Falle nur, wenn zwei Variable z, z, linear 
voneinander abhängen, ist eine Basis von ß in bezug auf z zugleich 
eine solche in bezug auf z x ; ebenso sind Normen, Spuren und Dis 
kriminanten in diesem Falle für z und z x identisch. 
Sind oc, ß irgend zwei Funktionen in ß, so bestehen zwischen 
denselben Gleichungen, deren linker Teil eine ganze rationale Funktion 
von a und ß ist. 
Unter diesen ist eine (nach § 1) 
F («, ß) = 0, 
welche sowohl in bezug auf a als in bezug auf ß von möglichst 
niedrigem Grade ist, und diese soll die zwischen a und ß be 
stehende irreduktible Gleichung heißen. Diese ist, von einem 
konstanten Faktor abgesehen, völlig bestimmt. 
Die bis.' 
waren rein 
nach den B 
abgeleitete . 
stehenden i 
Funktionen 
andere Prin 
lieh weitert, 
nicht als di 
Veränderlic 
von rationa 
haben auch 
Ausdrucks^ 
mehr leiste 
nun aber < 
drängt sich 
den Funk 
zulegen, c 
rationale; 
gleichung 
als zweckm 
(Konstante] 
rechnet wi: 
erweiterten 
einem gam 
Rechnung 
welchen ke 
ünbestimre 
zufassen, d 
*) Das 
Funktionen« 
z- B. darin i 
als geschloss