293 
uß dS 1 = 0, also 
a nur m = n x sein, 
niedrigsten Grades 
Funktionen in £1, 
llen 
‘- 1 , 
von z x abhängen; 
• • • vil ver - 
Veise darstellen. 
il durch z, d, als 
irstellen. 
hängige bezeichnet 
ite) Funktion des 
er Funktionen des 
Begriffe: B asis, 
n, Modul, Ideal 
agigen Veränder- 
riable z, z, linear 
;ug auf z zugleich 
Spuren und Dis- 
i. 
bestehen zwischen 
rationale Funktion 
ß von möglichst 
in oc und ß be- 
se ist, von einem 
II. Abteilung. 
§ 14. 
Die Punkte der Riemannschen Fläche. 
Die bisherigen Betrachtungen über die Funktionen des Körpers £1 
waren rein formaler Natur. Alle Resultate waren rationale, d. h. 
nach den Regeln der Buchstabenrechnung mittels der vier Spezies 
abgeleitete Folgerungen aus der zwischen zwei Funktionen in £i be 
stehenden irreduktiblen Gleichung. Die numerischen Werte dieser 
Funktionen kamen nirgends in Betracht. Man würde sogar, ohne 
andere Prinzipien anzuwenden, die formelle Behandlung noch wesent 
lich weitertreiben können, indem man zwei Funktionen des Körpers £i 
nicht als durch eine Gleichung verbunden, sondern als unabhängige 
Veränderliche auf faßt, wobei dann alles auf algebraische Teilbarkeit 
von rationalen Funktionen zweier Veränderlichen hinausläuft. Wir 
haben auch diesen Weg durchgeführt, der jedoch in Darstellung und 
Ausdrucksweise sehr schwerfällig ist und bezüglich der Strenge nicht 
mehr leistet als der im vorhergehenden benutzte Gang. Nachdem 
nun aber der formale Teil der Untersuchung soweit geführt ist, 
drängt sich die Frage auf, in welchem Umfange es möglich ist, 
den Funktionen in £i solche bestimmten Zahlenwerte bei 
zulegen, daß alle zwischen diesen Funktionen bestehenden 
rationalen Relationen (Identitäten) in richtige Zahlen 
gleichungen übergehen. Es erweist sich bei dieser Untersuchung 
als zweckmäßig, auch das ünendlichgroße als eine bestimmte Zahl oo 
(Konstante) zu betrachten, mit welcher nach bestimmten Regeln ge 
rechnet wird*). Die mittels der rationalen Operationen in dem so 
erweiterten Zahlengebiet ausgeführten Rechnungen führen stets zu 
einem ganz bestimmten Zahlenresultat, w r enn nicht im Verlaufe der 
0 oo 
Rechnung eines der Zeichen oo + oo 0 • oo —, — auf tritt, Zeichen, 
0 oo 
welchen kein bestimmter Wert zukommt. Das Auftreten einer solchen 
Unbestimmtheit in einer Gleichung ist nicht als ein Widerspruch auf 
zufassen, da in diesem Falle die Gleichung gar keine bestimmte Be- 
*) Das Unendliche als einen bestimmten Wert zu betrachten ist in der 
Funktionentheorie vielfach üblich und nützlich. Es spricht sich dies bei Riemann 
z. B. darin aus, daß er seine die algebraischen Funktionen darstellenden Flächen 
als geschlossen betrachtet.