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§21. 
Die Dimensionen der Polygonklassen. 
1. Die Polygone einer Klasse bilden eine Schar von 
endlicher Dimension, welche die Dimension der Klasse 
heißen soll. 
Beweis. Wählt man in einer Klasse A, deren Ordnung m sei, 
irgend s Polygone 2l x , 21 2 , , .. 2l s aus, so gehören alle Polygone der 
Schar (2l x , 2l 2 , ... 21 s ) zugleich in die Klasse A. Die Anzahl der linear 
unabhängigen Polygone, die in A enthalten sind, kann daher gewiß 
nicht größer sein als m + 1, weil man sonst (nach § 20, 2.) in der 
Klasse ein durch ein beliebiges (m + 1)-Eck teilbares Polygon finden 
könnte, was widersinnig ist. Wenn daher s die Maximalzahl der 
linear unabhängigen Polygone 21 x , 21 2 , . .. 2l s der Klasse A ist, so 
muß jedes Polygon dieser Klasse in der Schar (21 x , 21 2 , ... 2l s ) enthalten 
sein, und s ist die Dimension der Klasse. Das System der 
Polygone 21 x , 21 2 , ... 21 s soll eine Basis der Klasse genannt werden. 
Die isolierten Polygone bilden Klassen von der Dimension 1. 
2. Gibt es in einer Klasse G s und nicht mehr linear unab 
hängige, durch ein gegebenes Polygon 21 der Klasse A teilbare 
Polygone 
= «ö Xf <£, = 2l23 a , ... = «»., 
so ist C durch A teilbar, und es existieren in G auch ebenso viele 
linear unabhängige Polygone 
<g; = «'» x , €; = «'»„ ... c; = «'«., 
welche durch ein beliebiges mit 21 äquivalentes Polygon 21' teilbar 
sind (§18, 8.; § 19, 4.). Diese Zahl s hängt daher nur von den 
beiden Klassen i, O ab und kann füglich mit {A, G) bezeichnet 
werden. Der Wert des Symbols {A, G) ist gleich 0 zu setzen, wenn C 
nicht durch A teilbar ist. Die Dimension einer Klasse A wird hier 
nach mit (O, A) bezeichnet, wo 0 die aus dem Nulleck D bestehende 
Klasse bedeutet. Ist (nach § 18, 8.) 
G = AB, 
so folgt: 
(1) (A,C) = (A, AB) — (O, B)- 
denn die Polygone 23 x , 23 2 , , . . 23 s , die sämtlich in B enthalten sind, 
sind linear unabhängig, daher (0, B) gewiß nicht kleiner als s. Ist 
umgekehrt 23 ein beliebiges Polygon der Klasse B, so ist 2123 in C 
enthalten, 
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