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Nun ist die Ordnung des Polygons — 2 33 m 
m(n — 2)-f-mn = 2 m(n— 1), 
also die Ordnung von 
2 r = 2 m(n— 1) — Wjj 
stets eine gerade Zahl, und daraus ergibt sich 
(3) p = \yfß — n -)- 1 = (n~ l)(m— 1) — r. 
Das Polygon wird das Polygon der Doppelpunkte in (et, ß) 
genannt. 
§ 25. 
Die Differentiale in S2. 
Sind z, z, irgend zwei Variable in £1 von den Ordnungen n, n, 
und den Yerzweigungszahlen w, w 1} ferner 3, 3i die Verzweigungs- 
polygone, U, U x die Unterecke von z, z v so ist (§ 23) 
m dz __ BU x a 
K) dz,~ &U 2 ' 
Jede Funktion o in ß läßt sich in die Form setzen 
(2) 
co 
_ U 2 3l 
worin 3i, 33 Polygone bedeuten, deren Ordnungen a, 6 der Bedin 
gung genügen 
2 n -\-a = w-f& 
oder (§ 24) 
(3) a = b -f- 2 p — 2. 
Wenn man nun eine Funktion ca, durch die Gleichung erklärt 
ca dz = ca, dz,, 
so erhält nach (1) co, die Bezeichnung 
0,1 " IP' 
Wir nennen in der Folge solche Ausdrücke, wie 
co dz = co, dz, 
Differentiale in ii, und bezeichnen dieselben in symbolischer Weise 
durch ein Zeichen wie dco. Ein solches Differential ist hierdurch 
invariant, d. h. unabhängig von der Wahl der Veränderlichen z 
erklärt und ist durch die beiden Polygone 31, 33 vollständig bestimmt.