333 
in der Form (1) 
Grad der ganzen 
übersteigen. Es 
andernfalls ist 
-1 
Funktion 
bewiesen, 
ir der Funktionen 
der beizubehalten 
— k 0, so exi- 
it 2i äquivalenten 
l wenn 2i und 33 
äquivalent mit 
le erster Gattung 
>rigen Polygon- 
indigen Polygone 
erster Gattung heißt die Hauptklasse, und zwei Klassen A, ß, 
die der Bedingung genügen 
AB = W, 
Ergänzungsklassen. 
Ist a , 
n ~ % 
eine Funktion in ii, und 21' relativ prim zu 21, also die Klasse A 
von 21 eine eigentliche, so nennen wir rj eine Funktion erster oder 
zweiter Gattung, je nachdem die Klasse A von der ersten oder 
von der zweiten Gattung ist. 
Ist A eine beliebige Klasse erster Gattung und q die Anzahl 
der voneinander unabhängigen Polygone 2B, die durch irgendein 
Polygon 2t der Klasse A teilbar sind, so ist nach § 21, 2. 
q = (H, W) = (0, B) 
d. h. gleich der Dimension der Ergänzungsklasse B von A. Ebenso 
ist (ß, W) gleich der Dimension der Klasse A. Ist A eine Klasse 
zweiter Gattung, so ist (A, W) = 0. Da p die Dimension von W 
ist, so ist nach § 20, 2., 3. jede Klasse, deren Ordnung p—1 ist, 
von der ersten Gattung, und es gibt insbesondere Klassen A von 
der Ordnung p — k derart, daß (H, W) = (0, B) = k ist. Aus den 
gleichen Sätzen folgt, daß es Klassen von der Ordnung p gibt, 
welche von der zweiten Gattung sind. 
§ 28. 
Der Riemann-Eochsche Satz für eigentliche Klassen. 
Der Riemann-Roch sehe Satz, der nach seiner gewöhnlichen 
Ausdrucksweise die Anzahl der willkürlichen Konstanten kennen lehrt, 
welche eine Funktion enthält, die in einer gewissen Anzahl gegebener 
Punkte unendlich wird, enthält nach unserer Darstellungsweise eine 
Beziehung zwischen der Dimension und der Ordnung einer Klasse, 
resp. einer Klasse und ihrer Ergänzungsklasse. Indem wir uns zu 
nächst auf eigentliche Klassen beschränken, schicken wir der Ab 
leitung dieser fundamentalen Relation die folgenden Bemerkungen voraus. 
1. In einer eigentlichen Klasse A kann man nach § 19, 2. stets 
zwei zueinander relativ prime Polygone 21, 21' auswählen (eines der 
selben kann in der Klasse beliebig angenommen werden). Setzt man also 
21'