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5. Ist umgekehrt A" eine Klasse erster Gattung, für welche 
{A", W) = 1, so daß die Ergänzungsklasse B" yon A" aus einem 
isolierten Polygon 33" besteht; ist ferner iß ein in B" nicht aufgehen- 
der Punkt, und seine Klasse P, so ist A = P A" eine uneigentliche 
Klasse zweiter Gattung von der Ordnung n, in deren Teiler iß aufgeht. 
Daß A von der zweiten Gattung ist, ergibt sich zunächst aus 
der Annahme, daß iß in 33" nicht auf geht. Die Dimension von A 
ist daher nach 2. 
(O, A) = n~p + 1, 
wo n die Ordnung von A bedeutet; andererseits ist die Dimension 
der Klasse A" nach §§28 und 29: 
(O, A") = n—p + (A", W) = n — p -f 1; 
also sind A und A" von derselben Dimension. Sämtliche Polygone 
der Klasse A" gehen aber durch Multiplikation mit iß in Polygone 
der Klasse A über, und wegen der Gleichheit der Dimensionen wird 
hierdurch auch die letzte Klasse vollständig erschöpft. Es enthalten 
daher sämtliche Polygone der Klasse A den Faktor iß, der sonach 
auch im Teiler von A auf geht, 
6. In dem besonderen Falle, wo das Geschlecht p des Körpers Si 
den Wert 0 hat, kommen Polygone und Klassen erster Gattung über 
haupt nicht vor. Es existieren also in diesem Falle auch keine 
uneigentlichen Klassen. Die Dimension einer jeden Klasse ist um 
1 größer als ihre Ordnung. Insbesondere gehört also auch jeder 
Punkt iß zu einer eigentlichen Klasse von der Dimension 2, und 
daher existieren in diesem Falle in Si Funktionen z, welche von der 
ersten Ordnung sind. Durch eine solche läßt sich jede andere 
Funktion des Körpers rational ausdrücken, denn die zwischen z 
und einer anderen Variablen des Körpers bestehende irreduktible 
Gleichung ist in bezug auf letztere vom ersten Grad (§ 15, 7.). 
§31. 
Die Differentiale zweiter und dritter Gattung. 
1. Ist jetzt nach der in § 25 eingeführten Bezeichnung 
ein beliebiges Differential in ii, also, wenn a, b die Ordnungen von 
31 und 33 sind,