III. 
Ein Satz aus der Theorie der dreiachsigen 
Koordinatensysteme. 
[Journal für reine und angewandte Mathematik, Bd. 50, S. 272—275 (1855)]. 
Wenn die Winkel YOZ, ZOX, XOY eines dreiachsigen Koordi 
natensystems durch a, b, c bezeichnet werden, so wird der konkave 
Winkel w zwischen zwei beliebigen Richtungen OM und OM' durch 
folgende Gleichung bestimmt: 
i « a sin a? + ß ß' sin b 2 -\-yy' sin & -f- (ß y + y ß') (cos bcosc — cosa) 
+ (ycc'-\-ay) (cos c cosa — cos b) -{- (ß ß' + ß a) (cos acosh — cos c) 
— Dcosw, 
in welcher ß, ß, y die Kosinus der konkaven Winkel MOX, MOY, 
MOZ, ebenso ß', ß\ y die Kosinus der konkaven Winkel M'OX, 
M'OY, MOZ sind, und D folgende Bedeutung hat: 
(2) D — 1 — cos a 2 — cos 6 2 — cos c 2 + 2 cos a cos b cos c. 
Dieser bekannte Satz schließt den anderen ein, daß drei solche 
Richtungskosinus, wie ß, ß, y, stets der Bedingung 
. f aasina 2 -f ßß sinb 2 yy sinc 2 -f 2 ßy (cosb cos c — cosa) 
^ ' 1+2 ya(cos c cosa — cos b) + 2 aß (cos a cos b — cos c) = D 
Genüge leisten müssen. 
Ist das Koordinatensystem rechtwinklig, so gehen die Gleichungen 
(1) und (3) in die beiden folgenden über: 
ßß' + ß ß' + y y = cos w, 
ßß + ßß + yy = 1. 
Um daher auszudrücken, daß dann die drei Linien OM, OM', OM” 
ein zweites rechtwinkliges Koordinatensystem bilden, sind folgende 
sechs Gleichungen nötig: 
t wß + ßß + yy =1, ßV'+ ß'ß"~{- y'y" = 0, 
(4) ßV + ß' ß' + y'y — 1, ß"ß + ß" ß + y'y = 0, 
l ß''ß"+ ß”ß"Yy"y" — l? aa + ßß' + yy — 0. 
Sie sind auch hi 
wird, daß das 
Der in der 
daß diese letzte 
die Gleichungen 
durchaus rech 
würdigen Theor< 
satzes. 
Zunächst n 
gerungen aus de 
( ßß + ß 1 
ßß + ß 
yy + y 
und 
¡ßY- ß'V 
(6) ß"y — ßy" 
l ßy ß'y 
wo bekanntlich . 
Die ternäre 
F = xx- 
[welche bekannt 
Punktes (xyz) v 
ausdrückt] hat : 
Ausdruck (das 
OX = OY = 
und zur adjunj 
F t = xx sin* 
+ 2 zx 
Es ist dann he 
von F, also = . 
Wenn man 
x x sin a 2 + y 
+ (za/ + xz')(* 
Dedekind, Gesa: